高中数学个性化辅导课程
一、知识回顾
1、函数零点的概念：对于函数f(x),方程f(x)?0的实数根叫做函数y?f(x)的零点 2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，即y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点
?函数y?f(x)有零点。
3、函数零点的求法：
（1）（代数法）求方程f(x)?0实数根；（2）（几何法）数形结合法，求图象交点个数。 4、零点存在性定理(函数零点的判定)
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
即：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
5.二分法：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，且f(a)?f(b)?0，通过不断地把函数y?f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点
逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
注意：求曲线点，即求方程
y?f(x)和y?g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数F(x)?f(x)?g(x)的零f(x)?g(x)?0的根。
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点 零点个数 (x1，0)，(x2，0) 2 (x1，0) 1 无交点 0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
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1.已知函数f(x)?? A.??log2x(x?0)1则f[f()]的值是（ ） ,x4?3(x?0)11 B. －9 C. D.9 9912. 设函数f(x)?x?lnx(x?0),则关于y?f(x)正确的是（ ）
311A在区间(,1),(1,e)内均有零点， B在区间(,1),(1,e)内均无零点。
ee1C在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。
e1D在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。
e??2－1，x≤1，
3. (15·福州模拟)已知函数f(x)＝?
?1＋log2x，x>1，?
x
则函数f(x)的零点为( )
1
A.（，0）
2
31
B.（－2,0） C. D.0
2
24.已知函数f(x)?ax?3x?x?2在R上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(??,?3) 5. 函数f?x???B．(??,?3] C．(?3,0) D．[?3,0)
?4x?4,x?1的图象和函数g?x??log2x的图象的交点个数是（ ） 2?x?4x?3,x?1?1A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知函数f(x)?1?logax(a?0且a??1),f过（3,4），则a= ( ) (x)是f(x)的反函数，若f?1(x)的图象经
A. 2 B. 3 C. 33 D. 2 7. (14·湖北，文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( ) A．{1，3}
B．{－3，－1，1，3} C．{2－7，1，3}
D．{－2－7，1，3}
8. (15·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3)
D．(3，4)
2
9. 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
x
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3)
D．(0，2)
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10.函数y = log2 ( x2 – 5x – 6 )单调递减区间是（ ）
A．???,?
??5?2?
B．?,???
?5?2??
C．???,?1?
D．(6,??)
11.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5 x|的零点个数为( )
A．4
B．5 C．8
D．10
12.已知方程|x2－a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是( ) A．(0，4
B．(4，＋∞) C．(0，2)
D．(2，＋∞)
1?x3????2?＋4，x≥2，
13. (15·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝???
??log2x，0 若函数g(x)＝f(x)－k有 14. (13年天津，文）函数f(x)?2log05x?1的零点个数为 。 15．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是_________________ 2??x?1(0?x?4)?1?1116.已知函数f(x)??x，则f(4)?f()?_________ 4??2(?4?x?0)x17.函数y?30, x?[0,1]的值域是 ． 4x?2x?1?6x18. （13年陕西，文）已知函数f(x)?e,x?R. 证明：曲线y?f(x)与曲线y? 12x?x?1有唯一的公共点. 2高中数学个性化辅导课程 19.已知函数f(x)?13x?bx2?2x?a，x?2是f(x)的一个极值点． 3（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）当x?[1, 3]时，求函数f(x)的最大值． 20.已知函数f(x)?ax?bx的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线 32x?9y?0垂直。 （1）求实数a,b的值；（2）若函数f(x)在区间[m,m?1]上单调递增,求m的取值范围。 21．设函数f?x?的定义域为R，若f?x??x对一切实数x均成立，则称函数f?x?为?函数． （I）求证：若函数f?x?为?函数，则f(0)?0； e?x2xex（II）试判断函数f1(x)?xsinx、f2?x??x和f3?x??2x中哪些是?函数，并说 e?1e?1明理由； （III）若f(x)是奇函数且是定义在R上的可导函数，函数f(x)的导数f?(x)满足 |f?(x)|?1，试判断函数f(x)是否为?函数，并说明理由.
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