一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一、一次函数
函数y?ax?b(a?0)叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。故若函数f(x)=ax+b在x?[p,q]时恒为正（负），则在p、q处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b在x?[p,q]上与x轴有交点，则在p、q出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数
1、 一元二次函数的定义:形如y?ax2?bx?c(a?0)的函数叫做一元二次函数。 2、二次函数的三种表示形式：
（1） 一般式：y?ax2?bx?c(a?0) （2） 顶点式: y?a(x?k)2?h （3） 零点式: y?a(x?x1)(x?x2)?h 3、 一元二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的性质
?（1） 定义域为R，当a>0时，值域为 (4a4ca22b?； 当a<0是，值域为 (??,4a4c,??)a22b )?b（2） 图像为抛物线，其对称轴方程为?2ba，顶点为：(?2ba,4ac4a)；
（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，
当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。 4、 一元二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间[p,q]（p
为例）
（1）若q??2ba, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若
p?q2??2ba?q， 则该函数的最大值为 最小值为
p?q2（3）若p??2ba?，则该函数的最大值为 最小值为
（4）若p??2ba， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。）考虑这类问题。 5、 一元二次方程根的分布问题。
研究一元二次方程的根的分布应考虑以下几种情况:
（1） 一元二次方程根的个数； （2） 相应二次函数区间的端点；
（3） 相应二次函数的图像，对称轴，开口等问题。 （4） 会根据给出的函数解析式画出函数的大概图像
基础练习：
（1）已知函数y?x?4ax(1?x?3)是单调递增函数，则a的取值范围是（ ）
313A (??,12] B (??,1] C [2,2] D [2,??)
2（2）函数f(x)在定义域R上是奇函数，当x?0,f(x)?x?2x?3，则f(2)? 2（3）设a为常数，f(x)?x?4x?3，若函数f(x?a)为偶函数，则a= ，f(f(a))?
2（4）已知二次函数的对称轴为x??2，截x轴上的弦长为4，且过点（0，-1），求函数的解析式。
2（5）函数y?x?bx?c(x?[0,??))是单调函数的充要条件是（ ） A b?0 B b?0 C b?0 D b?0
（6）①求函数y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域；
1②函数y??sin2x?asinx?a4?2的最大值为2，求a的值。 （7）已知函数y?x2?2x?3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A [1,??) B [0,2] C (??,2] D (??,2]
（8）已知函数f(x)?ax2?2ax?2?b(a?0)，在区间【2,3】上有最大值5，最小值2，则a,b的值为多少？
三、指数函数和对数函数 1、 指数 1.1根式
（1）定义：如果x?a，那么x叫做a的n次方根，式子na叫做a开n次根，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数。 （2）性质：①当n为奇数，nan?a， 当n为偶数，nan?a??n?a,a?0
??a,a?0②负数没有偶次方根 ③零的任何次方根都是零 1.2幂的有关概念
正整数、零、负整数、正分数、负分数的指数幂 1.3有理数指数幂的性质: (1) aa?a(a?0,r,s?Q)
rsrs(2) (a)?a(a?0,r,s?Q)
rrr(3) (ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
2、对数
2.1对数定义：如果a?N(a?0,a?1)，那么幂指数b叫做以a为底N的对数。记为
brsr?slogaN?b，其中a叫做底数，N叫做真数。
2.2 指数式与对数式的互化：a?N?logaN?b 2.3对数的运算法则:
如果a?0,a?1,N?0,M?0,有 (1) loga(MN)?logaM?logaN, (2) loga(MN)?logaM?logaN, (3) logaMn?nlogaM （4）logaN?logbNlogbab（换底公式）
（5）常用对数与自然对数lg是以10为底的常用对数，ln是以e为底的自然对数，其中e=2.71828??
3、 指数函数与对数函数
（1、 指数函数的定义：形如y?ax的函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ，值域是 ；
（2、 对数函数的定义：形如y?logax(a?0,a?1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ，值域是 指数函数和对数函数的图像和性质： （1） 表达式： （2） 定义域: （3） 值域： （4） 图像： （5） 单调性
（6） 函数值的分布
（7） 指数函数与对数函数对相互反函数的，他们的图像关于直线y=x对称 （8）
基础练习：1.函数y?21?x?3(x?R)的反函数的解析表达式为( )
（A）y?log2x?3 （B）y?log22 （C）y?log22 （D）y?log23?x 6.（05江西卷）函数f(x)?log(?x2?4x?3)的定义域为（ ）
2 A．（1，2）∪（2，3） B．(??,1)?(3,??) C．（1，3） D．[1，3] 7．（06广东卷）函数f(x)?333x21?x?lg(3x?1)的定义域是
2x?33?x21
A.(?1,??) B. (?1,1) C. (?1,1) D. (??,?1)
333例1.设a＞0, f (x)＝
ea?x是R上的奇函数. ae－1
x(1) 求a的值;(2) 试判断f (x )的反函数f
一. 选择题
(x)的奇偶性与单调性.
xx1. 设x?0且a?b?1, a,b?(0, ??), 则a、b的大小关系是 ( ) A. b?a?1 B. a?b?1 C. 1?b?a D. 1?a?b 2. 如果0?a?1, 那么下列不等式中正确的是 ( )
A. (1?a)?(1?a) B. log(1?a)(1?a) C. (1?a)?(1?a) D. (1?a)x131232(1?a)?1
3. 已知x1是方程x?lgx?3的一个根, x2是方程x?10?3的一个根, 那么x1?x2的值是 ( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
4. log2log3log4x?log3log4log2y?log4log2log3z?0,则x?y?z的值为 ( ) A. 50 B. 58 C. 89 D. 111
?x5. 当a?1时, 在同一坐标系中, 函数y?a与y?logax的图象是图中的 ( )
x6. 若函数f(x)与g(x)?( )的图象关于直线y?x对称, 则f(4?x2)的单调递增区间是( )
12A. (?2, 2] B. [0, ??) C. [0, 2) D. (??, 0] 二. 填空题
7. 已知2?2?5, 则8?8? . 8. 若函数y?log2x?2的反函数定义域为(3, ??), 则此函数的定义域为 . 9. 已知y?loga(3?ax)在[0, 2]上是x的减函数, 则a的取值范围是 . 10.函数f(x)?ax(a?0, a?1)在[1, 2]上的最大值比最小值大为 . 三. 解答题
11. 设 0?x?1 , 试比较|loga(1?x)|与|loga(1?x)|的大小.
12. 已知函数f(x)?2x?1的反函数为f(1) 若f?1?1a2x?xx?x, 则a的值
(x), g(x)?log4(3x?1).
(x)?g(x)，求x的取值范围D;
1?1(2) 设函数H(x)?g(x)?f(x)，当x?D时, 求函数H(x)的值域.
2
13. 已知常数a?1, 变数x、y有关系3logxa?logax?logxy?3. (1)若x?a ( t?0 ), 试以a、t表示y ;
(2)若t在[1, ??)内变化时, y有最小值8, 求此时a和x的值各为多少?
t14. 已知函数f(x)?9x?2?3x,判断f (x)是否有反函数? 若有, 求出反函数; 若没有, 怎么改变
定义域后就有反函数了?
一. 选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 C
二. 填空题7. 110 ; 8.
(2, ??);
9. (0,32) 10. 12或13
三. 解答题
11. ?0?x?1?0?1?x?1?1?x?1?2,
11x2?(1?x) ?(1?x)??0, ?1?x1?x1?x1|loga(1?x)|lg(1?x)?? || ? |?1?x| ?1?|loga(1?x)|?|loga(1?x)|. |loga(1?x)|lg(1?x)lg(1?x)lg12. (1)?y?2x?1?2x?y?1即x?log2(y?1)?f?1(x)?log2(x?1)(x??1)
?f?1?x??g(x)?log2(x?1)?log4(3x?1)?log2(x?1)??(x?1)2?3x?1???x?1?0?3x?1?0?
1log2(3x?1)2?0?x?1?D?{x|0?x?1}
1], ?3x?1?3?(2) H(x)?1log23x?1 x?[0, 2x?1x?121?[1, 2]?H(x)?[0, ] x?1213. (1) ?x?a,?3logata?logaa?logaty?3?tt31?t?logay?3. tt?logay?t2?3t?3?y?at(2) y?a33(t?)2?242?3t?3(t?0).
?t?3?[1, ??) 2333?t?时, ymin?8?a4?8?23?a?16x?162?64.
2x2xx2x14. f(x)?(3)?2?3?(3?1)?1 (3?0)
令3?1?0?x?0, 所以当3?1?0或3?1?0时存在反函数, 即x?0或x?0时(或它的子集)存在反函数,
x①当x?0时, 即3?1?0?y?1?(3x?1)2?3x?1?xxxy?1
?f?1(x)?log3(1?x?1 ), (x??1)
x②当x?0时, 即3?1?0?y?1?(3x?1)2?3x?1??y?1
?f?1(x)?log3(1?x?1) , (x??1)
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
