二次函数图象和性质
【知识点归纳】
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
4ac?b2bb（3）当a＞0时，当x=－时，函数有最小值；当a＜0时，当x =－时，函数
4a2a2a4ac?b2有最大值
4a，∴顶点是
3、图象的平移：将二次函数y=ax (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax＋c，y=a(x－h)，y=a(x－h)＋k的图象．
⑴ 将y=ax的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax＋c的图象．其顶点是（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax相同．
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b?4ac?b2?2 （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x???2a4a??（?b4ac?bb，），对称轴是直线x??. 2a4a2a22 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为顶点为(h,k)，对称轴是直线x
y?a?x?h??k的形式，得到
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⑵ 将y=ax的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax相同．
⑶ 将y=ax的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h) +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax相同．
记住规律：左加右减，上加下减
4、 用待定系数法求二次函数的解析式
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?h.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
2、二次函数的图象及性质：
（1）二次函数y=ax (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．
（2）二次函数y?ax?bx?c的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线．顶点
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4ac?b2bb为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x
4a2a2a＞－
bb，y随x的增大而增大，x＜－，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向2a2a （1）一般式：
y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2 （2）顶点式：
bb下，图象有最高点，且x＞－，y随x的增大而减小，x＜－，y随x的增大而增大．
2a2a （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：
y?a?x?x1??x?x2?
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【典型例题】
例1、二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）
例2、二次函数y=ax＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
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例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax＋（a＋c）x＋c与一次函数y=ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
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例6、抛物线y=ax＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 ．
例7、已知二次函数y=（m－2）x＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5） （1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
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b例3、在同一坐标系中，函数y=ax＋bx与y=的图象大致是图中的（ ）
x2
例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？
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例8、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
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训练题A：
1．抛物线y=－2x＋6x－1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax＋bx＋c的大致图象为（ ）
10．已知抛物线y=ax＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．且过点C(0,3)（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线．
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153．已知二次函数y=x－x＋6，当x= 时，y
422
最小
= ；当x 时，y随x
的增大而减小．
4．抛物线y=2x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为
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111．如图，已知二次函数y=2x＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和
2
点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．
．
5．二次函数y=ax＋bx＋c的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
116．已知点（－1，y）、（－3，y）、（，y）在函数y=3x＋6x＋12的图象上，则y、y、
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3
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y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．二次函数y=－x＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ） A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4 8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
9．函数y=ax＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）
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12．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角
1形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形
2中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．
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二次函数的图像和性质讲义
