椭圆的常见题型及解法(二)
椭圆的常见题型及解法（二）
一
对称问题
平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.
①点A关于B的对称点为C，点B为A、C的中点，由中点坐标公式有：
x1?x?a???2??x?2a?x1； ??y?yy?2b?y1??b?1?2?②设点A(x1,y1)关于直线?：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC直线与?垂直，且AB
??y?y1?a?b2?a2??????1x????x?x1?b??的中点在?上，有：???22?ax?x1?by?y1?c?0?y?a?b??22????x???2aby1?2aca?b2;
y1?2abx1?2bca2?b212(当直线?中a=0或b=0时，上面结论也正确)
③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A为主动点,点C为从动点,由中点坐标公式有:
x1?x?a???2??x1?2a?x,代入到主动点的方程中,得对称曲线方??y?yy?2b?y?1?b?1?2?程:F(2a?x,2b?y)?0.
④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线, 在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x1,y1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:
?y?y1?a??b2?a2x?2aby?2ac??????1x????x?x1?b??1a2?b2,代入到主动点的方???22?ax?x1?by?y1?c?0?y?a?by?2abx?2bc1??a2?b2?22??????b程中,得对称曲线方程:F(2?a2x?2aby?2aca2?b2y?2abx?2bc,)?0.
a2?b2a2?b2???圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须
同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.
x2y2??1,试确定m的取值范围,使得对于直线?:y?4x?m在椭例1.已知椭圆C: 1691 / 11
椭圆的常见题型及解法(二)
圆C上存在不同的两点关于直线?对称.
解:椭圆上存在两点A,B关于直线?y?4x?m对称, 设直线AB为:y??1x?n (确保垂直). 4设直线AB与椭圆有两个不同的交点A?x1,y1?,B?x2,y2?.
1?y??x?n??422?5x?4nx?8n?72?0 ?22?x?y?1??169????4n??4?5?8n2?72?0 (确保存在)
22即：n?10?n??10,10???1?
????x1?x2???4n4n ?55x1?x22n12n9?,纵坐标为???n?n 254510AB两点的中点的横坐标为
则点?92n?2n9?,n?在直线?y?4x?m上,n?4??m. (确保平分)
105?510??m??7n. 10710710?m?. 1010把上式代入(1)中,得：?变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e? （I）求椭圆E的方程；
（II）求?F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
（III）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若
存在，请找出；若不存在，说明理由.
本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直
线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.
1. 2x2y2解：（I）设椭圆E的方程为2?2?1
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1c1,即?,a?2c,得b2?a2?c2?3e2,2a2 22xy?椭圆方程具有形式2?2?1.4c3e由e?x2y213??1. 将A（2，3）代入上式，得2?2?1,解得c?2, ∴椭圆E的方程为
1612cc （II）解法1：由（I）知F1(?2,0),F2(2,0)，所以
3(x?2),即3x?4y?6?0, 4直线AF2的方程为：x?2.
直线AF1的方程为：y?由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数. 设P(x,y)为l上任一点，则
|3x?4y?6|?|x?2|.
5若3x?4y?6?5x?10,得x?2y?8?0（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l的方程为：2x?y?1?0. 解法2：
uuuruuuurQA(2,3),F1(?2,0),F2(2,0),?AF1?(?4,?3),AF2?(0,?3).uuuruuuurAF1AF2114r?(?4,?3)?(0,?3)??(1,2). ?uuur?uuuu35|AF1||AF2|5?k1?2,?l:y?3?2(x?1),即2x?y?1?0. （III）解法1：
假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),
QBC?l,?kBC?y2?y11?.x2?x12x1?x2y?y2,y0?1,22
设BC的中点为M(x0,y0),则x0?由于M在l上，故2x0?y0?1?0. ①
22x12y12x2y2??1与??1. 又B，C在椭圆上，所以有
1612161222x2?x12y2?y12??0, 两式相减，得
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椭圆的常见题型及解法(二)
即
(x1?x2)(x2?x1)(y1?y2)(y2?y1)??0.
16121x1?x2y2?y11y1?y2????0，
82x2?x162将该式写为?并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点，表示代入该表达式中， 得
11x0?y0?0,即3x0?2y0?0. ② 812①×2—②得x2?2,y0?3，即BC的中点为点A，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B和C. 解法2：
假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称， 则l?BC,?kBC??.
121x2y2设直线BC的方程为y??x?m,将其代入椭圆方程??1,
21612得一元二次方程3x?4(?21x?m)2?48,即x2?mx?m2?12?0, 2则x1与x2是该方程的两个根， 由韦达定理得x1?x2?m,
13m(x1?x2)?2m?, 22m3m∴B，C的中点坐标为(,).
243m又线段BC的中点在直线y?2x?1上,??m?1,得m?4.
4于是y1?y2??即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.
二 中点弦问题
x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线例1、过椭圆
164的方程。
解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)
? M(2,1)为AB的中点 ?x1?x2?4 y1?y2?2
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2222?又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2?16
两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0 于是(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0
2222?y1?y2x?x41??12????
x1?x24(y1?y2)4?22即kAB??11，故所求直线的方程为y?1??(x?2)，即x?2y?4?0。 22y2x21??1的一条弦的斜率为3，它与直线x?的交点恰为这条弦的中点例2、已知椭圆
75252M，求点M的坐标。
解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x0?1 2x1?x2?2x0?1 ， y1?y2?2y0
yxyx又 1?1?1，2?2?1
75257525两式相减得25(y1?y2)(y1?y2)?75(x1?x2)(x1?x2)?0 即2y0(y1?y2)?3(x1?x2)?0 ?2222y1?y23??
x1?x22y0? k?y1?y231?3 ? ??3，即y0??
x1?x22y0211?点M的坐标为(,?)。
22y2x2??1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 变式训练1、已知椭圆
7525解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则
x1?x2?2x， y1?y2?2y yxyx又 1?1?1，2?2?1
75257525两式相减得25(y1?y2)(y1?y2)?75(x1?x2)(x1?x2)?0
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椭圆的常见题型及解法二
