1.3.2 球的体积和表面积
A组
1.若一个球的体积扩大到原来的27倍,则它的表面积扩大到原来的( )
A.3倍 答案:C
2.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( ) A.4
B.8
C.8
D.8
B.3倍
C.9倍
D.9倍
解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则
S球=4πR2=4π,解得R=1.
因为正方体内接于球,所以x=2R=2, 所以x=,故S正=6x=6×=8. 答案:B
3.一个各棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.3π
B.4π
C.3π
D.6π
2
解析:以四面体的棱为正方体的面对角线构造正方体,则四面体的外接球就是正方体的外接球,且正方体的棱长为1,设球半径为R,所以2R=,所以S球=4πR=3π. 答案:A 4.
2
右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ) A.9π B.10π C.11π D.12π
- 1 -
解析:该几何体的上部是一个球,其表面积是4π×1=4π;下部是一个圆柱,其表面积是2π×1×3+2π×1=8π,则该几何体的表面积是4π+8π=12π. 答案:D
5.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为( ) A.
B.
C.8π
D.
2
2
解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR=. 答案:D
6.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的 倍.
解析:设球半径为R,则球表面积为S1=4πR,两个半球的表面积为S2=2(2πR+πR)=6πR,∴2
2
2
2
3
S2∶S1=6∶4=3∶2.
答案:
7.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是 .
解析:设钢球半径为r cm,则r=π×3×4,即r=3. 答案:3 cm
8.球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为 . 解析:
3
2
如图,设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是,于是圆锥的底面半径为.因为圆锥的高为,所以圆锥的体积为×π×r,球的体积为r,所以该圆锥的体积和此球体积的比值为. 答案: 9.
3
3
- 2 -
某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.
解:该组合体的表面积S=4πr+2πrl=4π×1+2π×1×3=10π,该组合体的体积
2
2
V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.
10.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠
BAC=120°,求此球的表面积.
解:设球心为O,球半径为R,△ABC外接圆的圆心为M,则O在底面ABC上的射影就是点M.
如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∴∠MAC=60°.
又MA=MC,∴MA=MC=AC=2.∴R=2+=5.∴此球的表面积为S=4πR=20π.
B组
1.一个体积为1 cm的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( ) A.π cm
3
2
3
2
2
2
B.3π cm
2
C.9π cm
2
D.12π cm
2
2
解析:体积为1 cm的正方体的棱长为1 cm,所以球的半径为 cm,表面积为3π cm. 答案:B
2.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为( ) A.a
3
B.a
3
C.a
3
D.a
3
3
解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a. 答案:C 3.
如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A. cm C. cm
33
B. cm D. cm
- 3 -
3
3
解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.
BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,
由R=(R-2)+4,得R=5,
所以球的体积为π5=π(cm),故选A. 答案:A 4.
3
3
2
2
2
圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 .
解析:设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr×6r=6πr,高度为8的水的体积为8πr,3个球的体积和为3×πr=4πr,由题意得6πr-8πr=4πr,解得r=4. 答案:4
5.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的体积为 . 解析:由题意得,该正四棱柱的底面边长为2,外接球的直径就是该正四棱柱的对角线,所以外接球的半径为,所以该球的体积为)=8π. 答案:8π 6.
3
2
3
3
3
2
3
2
3
如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为 . 解析:
- 4 -
作经过球心的截面(如图),
O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,
则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,
V=×7=.
答案: 7.
据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πrh,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,∴V圆锥
2
=πr2h.
球的半径为r,∴V球=πr.又h=2r,
3
∴V圆锥∶V球∶V圆柱=∶(πr2h)=∶(2πr3)=1∶2∶3.
8.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.
解:取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.
连接CO1,CE,如图.
则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.
∵AB=3,∴O1C=3.
在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=.
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在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,
∴SC2=SO1·SE,∴SE==4. ∴球半径R=2.
∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.
9.某几何体的三视图如图所示(单位:m).
(1)求该几何体的表面积S(结果保留π); (2)求该几何体的体积V(结果保留π).
解:由三视图可知,该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体,上半部分是半径为1 m的半球.
(1)几何体的表面积
S=×4π×12+6×22-π×12=24+π(m2).
(2)几何体的体积
V=23+×π×13=8+(m3).
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2018-2019学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积练习（含解析）新人教A版必修2
