?原式???20dcosx9?cos2x
?12、(本小题6分)
13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln2 6
设 x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．
解：dx?x?(t)dt
13、(本小题6分)
?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt
设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求dy．dx
2yy??2y??6x5y
14、(本小题6分)
3yx5y??2y?1
求函数y?2ex?e?x的极值
解：定义域(??，??),且连续
1y??2e?x(e2x?)2 11驻点：x?ln22
由于y???2ex?e?x?0
11故函数有极小值,,y(ln)?2222
15、(本小题8分)
16、(本小题10分)
(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)
1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2xxxx原式?limx??11(10?)(11?)xx
10?11?21?6?10?117? 2
解:?cos2xcos2xdx??dx1?sinxcosx11?sin2x2
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二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)
d(1sin2x?1)2??1?1sin2x2 1?ln1?sin2x?c2
某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.
设晒谷场宽为x,则长为L?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x2、(本小题8分)
512 (x?0)x 512L??2?2 唯一驻点 x?16x 1024L???3?0 即x?16为极小值点x
512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省
x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28
x2x3解: ?,8x2?2x3 x1?0,x1?4.28
244?x4xx32?x62Vx????()?()?dx???(?)dx008?464?2
三、解答下列各题
( 本 大 题10分 )
11117??(?x5??x)456470
11512??44(?)??5735
设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根. 证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.
4又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0
则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在?1?(0,1),?2?(1,2),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程,它至多有三个实根,
由上述f?(x)有且仅有三个实根
高等数学
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（上）试题及答案
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
2x1、lim(1?3x)x?0?______.。
x?x?0?e2、当k=1 时，f(x)??在x?0处连续．
2??x?kx?03、设y?x?lnx,则
dx?______dyx/x+1
y=x+1
4、曲线y?e?x在点（0，1）处的切线方程是
x5、若
?f(x)dx?sin2x?C，C为常数，则f(x)? 2cos2x 。
xx二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1、若函数f(x)?，则limf(x)?（ D ）
x?0A、0 B、?1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ B ）
A. ln1x?2(x?0?) B. lnx(x?1) C. cosx (x?2) (x?0) D. 2xx?43、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（
C ）．
A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ B ）
A、
???0sinxdx B、?e0???2xdx C、???0??11dx dx D、?0xx5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则?AMB= A A、
??? B、 C、 D、? 342三、 计算题（每小题7分，本题共56分）
1、求极限 limx?04?x?2 。
sin2x第8页，共11页
2、求极限 lim(x?011?x) xe?1?te?dt12cosx3、求极限 limx?0x2
4、设y?e5?ln(x?1?x2)，求y?
?x?ln(1?t2)d2y5、设f?y(x)由已知?，求 2dx?y?arctant6、求不定积分 7、求不定积分
12sin(?x2x?3)dx
?excosxdx
?1??1?ex8、设f(x)???1??1?x四、 应用题（本题7分）
x?0， 求
x?0?20f(x?1)dx
求曲线y?x与x?y所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。 五、 证明题（本题7分）
若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?f(1)?0，f()?1，证明：
在(0,1)内至少有一点?，使f?(?)?1。
2212参考答案
一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、e 2、k =1 ． 3、
6x 4、y?1 5、f(x)?2cos2x 1?x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：
第9页，共11页
limx?0x12x14?x?2?lim?lim? x?0sin2xsin2x(4?x?2)2x?0sin2x(4?x?2)811ex?1?xex?1ex12.解 ：lim(?x )?lim?lim?lim?xxxxxxx?0xx?0x?0x?02e?1x(e?1)e?1?xee?e?xecosx?t23、解： lim?e1dtx?0x21?sinxe?cos?limx?02x(1?11?x22x??1 2e11?x24、解： y??x?1?x2) ?
1dy1?t21?? 5、解：
2tdx2t1?t2dyddy?()2dtdxdx2dxdt12?2t?1?t2??3 2t4t21?t6、解：
1212212sin(?3)dx??sin(?3)d(?3)?cos(?3)?C ?x2x?2x32x7、 解：
?excosxdx??cosxdex
?excosx??exsinxdx?excosx??sinxdex
?excosx?exsinx??excosxdx
?ex(sinx?cosx)?C
8、解：
?20f(x?1)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx…
?1?101011dxdx???? ?11?ex01?x0ex1??(1?)dx?ln(1?x) 0?11?ex0
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大一第一学期期末高等数学(上)试题及标准答案
