大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。2.4.1 抛物线及其标准方程
学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点
F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ [提示] 点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 2．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) ?p?F?，0? ?2?px＝－ 2F??－p，0? ??2?px＝ 2?p?F?0，? ?2?py＝－ 2F?0，??－p? 2??py＝ 2思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？ (2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示] (1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．( ) (2)抛物线是双曲线的一支．( )
(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标
1
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。轴上．”( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．抛物线y＝－8x的焦点坐标是( ) A．(2,0) C．(4,0)
22
B．(－2,0) D．(－4,0)
B [抛物线y＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]
23．抛物线y＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．8
C [由y＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.] 4．抛物线x＝4y的准线方程是( )
【导学号：46342105】
111A．y＝ B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝ 21681122
C [由x＝4y得y＝x，故准线方程为x＝－.]
416
[合 作 探 究·攻 重 难]
2
2
2
p 求抛物线的标准方程 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： 2
(1)准线方程为y＝；
3
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． [思路探究] (1)(2)
由题意可确写出抛物线
→求出p→
定方程形式的标准方程
(3)
设出抛物线代入点的写出抛物线→→
的标准方程坐标求参数的标准方程
分情况讨论写出抛物线
→
焦点的位置的标准方程
(4)写出焦点坐标→
p24
[解] (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标
233
82
准方程为x＝－y.
3
2
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x＝10y和x＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y＝－2px(p>0)或x＝－2py(p>0)．
122
若抛物线的标准方程为y＝－2px(p>0)，则由(－1)＝－2p×(－3)，解得p＝；
6922
若抛物线的标准方程为x＝－2py(p>0)，则由(－3)＝－2p×(－1)，解得p＝.
2122
∴所求抛物线的标准方程为y＝－x或x＝－9y.
3
(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x＝－12y；
2当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y＝16x.
2∴所求抛物线的标准方程为x＝－12y或y＝16x. [规律方法] 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2
2
2
2
2
2
2
p2
p2
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y＝mx或x＝ny，这样可以减少讨论情况的个数． (3)注意p与的几何意义． 2[跟踪训练] 1．根据下列条件确定抛物线的标准方程． (1)关于y轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x－2y－4＝0上．
3
22p大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x＝－2py(p＞0)，将点(－1，－3)代入方程， 1122
得(－1)＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x＝－y.
63
法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x＝my(m≠0)．又抛物112
线过点(－1，－3)，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x＝－y.
33
(2)法一：设所求抛物线方程为y＝2px(p＞0)或x＝－2p′y(p′＞0)，将点(4，－8)代入y＝2px，得p＝8；将点(4，－8)代入x＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为
2
2
2
2
2
2
y2＝16x或x2＝－2y.
法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y＝16x；
当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x＝－2y.
综上，抛物线的标准方程为y＝16x或x＝－2y.
??x＝0，
(3)由?
?x－2y－4＝0，???y＝0，由?
?x－2y－4＝0，?
2
22
22
2
??x＝0，
得?
?y＝－2，?
??y＝0，得?
?x＝4.?
所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．
当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x＝－8y；当焦点为2(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y＝16x.
2
综上所述，所求抛物线方程为x＝－8y或y＝16x.
2
2
p2
p2
抛物线的定义的应用 (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点
的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
(2)已知抛物线y＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标.
【导学号：46342106】
(3)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x＋(y＋3)＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[思路探究] (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程． (2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
4
2
2
2
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。(3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解．
[解] (1)设所求抛物线方程为x＝－2py(p>0)，由＋3＝5得p＝4，因此抛物线方程
2为x＝－8y，其准线方程为y＝2，由m＝24得m＝±26.
(2)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
2
22
p
则|PA|＋|PF| ＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB| ＝4＋1＝5.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1， ∴P(1,2)．
(3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x＝－12y.
[规律方法] 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [跟踪训练] 2．(1)已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A．17
2
B．3 9D． 2
2
2
C．5
A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
5
2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程学案 新
