第一章 热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。 解：已知理想气体的物态方程为
pV?nRT, （1）
由此易得
??1??V?nR1??, （2） ??V??T?ppVT1??p?nR1??, （3） ??p??T?VpVT???T????????????. （4） V??p?T?V??p2?p1??V??1??nRT?1
1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：
lnV=??αdT?κTdp?
如果??,?T?1T1，试求物态方程。 p解：以T,p为自变量，物质的物态方程为
V?V?T,p?,
其全微分为
??V???V?dV??dT???dp. （1） ???T?p??p?T全式除以V，有
dV1??V?1??V???dT???dp. ?VV??T?pV??p?T根据体胀系数?和等温压缩系数?T的定义，可将上式改写为
1
dV??dT??Tdp. （2） V上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnV????dT??Tdp?. （3）
若??,?T?，式（3）可表为
?11?lnV???dT?dp?. （4）
p??T1T1p选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到?T,p0?，再积分到（T,p），相应地体
积由V0最终变到V，有
lnVTp=ln?ln, V0T0p0即
pVp0V0??C（常量）， TT0或
? pV1T1pC. T （5）
式（5）就是由所给??,?T?求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。
2
1.3 在0C和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
?5?1?7??4.85?10K和?T?7.8?10pn?1?.和?T可近似看作常量，今使铜块加热至10C。
问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
a）根据1.2题式（2），有
dV??dT??Tdp. （1） V上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为
dp??dT. （2） ?T在?和?T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得
p2?p1???T2?T1?. （3） ?T将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态?V,T1?和终态?V,T2?是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
4.85?10?5p2?p1??10?622pn.
7.8?10?7因此，将铜块由0C加热到10C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
?V???T2?T1???T?p2?p1?. （4） V1将所给数据代入，有
3
?V?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100V1 ?4.07?10?4.因此，将铜块由0C加热至10C，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?10?4倍。
1.4 简单固体和液体的体胀系数?和等温压缩系数?T数值都很小，在一定温度范围内可以把?和?T看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为
V(T,p)?V0?T0,0???1???T?T0???Tp??.
解: 以T,p为状态参量，物质的物态方程为
V?V?T,p?.
根据习题1.2式（2），有
dV??dT??Tdp. （1） V将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在?和?T可以看作常量的情形下，有
lnV???T?T0???T?p?p0?, （2） V0或
V?T,p??V?T0,p0?e??T?T0???T?p?p0?. （3）
考虑到?和?T的数值很小，将指数函数展开，准确到?和?T的线性项，有
V?T,p??V?T0,p0???1???T?T0???T?p?p0???. （4）
如果取p0?0，即有
V?T,p??V?T0,0???1???T?T0???Tp??. （5）
1.5 描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力J，物态方程是
f?J,L,T??0
实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
4
??1??L??? L??T?J等温杨氏模量定义为
Y?L??J??? A??L?T其中A是金属丝的截面积，一般来说，?和Y是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由?1降至?2时，其张力的增加为
?J??YA??T2?T1?
解：由物态方程
f?J,L,T??0 （1）
知偏导数间存在以下关系：
??L???T???J?????????1. （2） ?T?J??J??L??L?T所以，有
??J???L???J???????????T?L??T?J??L?TA （3） ??L??YL???AY.
积分得
?J??YA??T2?T1?. （4）
与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差
?J?J?L,T2??J?L,T1?
就满足式（4），与经历的过程无关。
1.6一理想弹性线的物态方程为
?LL2?0J?bT??2?, LL?0? 5
热力学统计物理-第四版-汪志诚-课后答案
