1x221．已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
22（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,?4??)，D(2,?)，弧AB，BC，CD所在圆4的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD. （1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|??23，求P的极坐标.
23．[选修4?5：不等式选讲]（10分） 设x,y,z?R，且x?y?z?1.
222（1）求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值；
（2）若(x?2)?(y?1)?(z?a)?
2221成立，证明：a??3或a??1. 32024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
一、选择题 1．A
2．D
3．C
4．A
5．C
6．D
7．B
8．B
9．C
10．A
11．C
12．D
二、填空题 13．
2 314．4 15．(3,15) 16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1）由题设及正弦定理得sinAsinA?C?sinBsinA． 2因为sinA?0，所以sinA?C?sinB． 2A?CBBBB?cos，故cos?2sincos． 22222由A?B?C?180，可得sin?因为cosBB1?0，故sin?，因此B=60°． 2223a． 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC??csinAsin?120?C?31由正弦定理得a????．
sinCsinC2tanC21由于△ABC为锐角三角形，故0° 2从而 33?S△ABC?． 82因此，△ABC面积的取值范围是?19．解：（1）由已知得AD 四点共面． ?33??8,2??． ??BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D BE，CG 由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC?平面BCGE． （2）作EH?BC，垂足为H．因为EH?平面BCGE，平面BCGE?平面ABC，所以EH?平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3． 以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz， 则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，–1，0）． 设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则 ??x?3z?0,?CG?n?0,?即 ????2x?y?0.?AC?n?0,?所以可取n=（3，6，–3）． 又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以cos?n,m??因此二面角B–CG–A的大小为30°． 20. 解：（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)． 令f?(x)?0，得x=0或x?若a>0，则当x?(??,0)2n?m3． ?|n||m|2a. 3?a??a??,??x?f(x)?0时，；当???0,?时，f?(x)?0．故f(x)在 3???3??a??a? (??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减； ?3??3? 若a=0，f(x)在(??,??)单调递增； 若a<0，则当x????,??a??a??(0,??)x?时，；当f(x)?0??,0?时，f?(x)?0．故f(x)在 3??3?a???a???,,(0,??)单调递增，在???,0?单调递减. 3???3?（2）满足题设条件的a，b存在. （i）当a≤0时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，l]的最小值为f(0)=b，最大值为f(1)?2?a?b.此时a，b满足题设条件当且仅当b??1，2?a?b?1，即a=0，b??1． （ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)?2?a?b．此时a，b满足题设条件当且仅当2?a?b??1，b=1，即a=4，b=1． a3?a??b，最大值为b或2?a?b． （iii）当0 21．解：（1）设D?t,???1??,2?A?x1,y1?，则x12?2y1. 12?x . 由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故1x1?ty1?整理得2 tx1?2 y1+1=0. 设B?x2,y2?，同理可得2tx2?2 y2+1=0. 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0. 1所以直线AB过定点(0,). 2（2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?1?y?tx???22x?2tx?1?0. 由?，可得2?y?x??21. 2于是x1?x2?2t,x1x2??1,y1?y2?t?x1?x2??1?2t2?1， |AB|?1?t2x1?x2?1?t2??x1?x2?2?4x1x2?2?t2?1?. 2t?12设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1?t2?1,d2?因此，四边形ADBE的面积S?1|AB|?d1?d2???t2?3?t2?1. 2. 1??设M为线段AB的中点，则M?t,t2??. 2??由于EM?AB，而EM??t,t2?2?，AB与向量(1, t)平行，所以t??t2?2?t?0.解得t=0或 t??1. 当t=0时，S=3；当t??1时，S?42. 因此，四边形ADBE的面积为3或42. 22.解：（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，??2sin?，???2cos?. 所以M1的极坐标方程为??2cos??0?????π?3π??πM??2sin????，的极坐标方程为2???，4?4??4?3π?M3的极坐标方程为???2cos?????π?. ?4?（2）设P(?,?)，由题设及（1）知 ππ ，则2cos??3，解得??； 46 π3ππ2π若???，则2sin??3，解得??或??； 44333π5π???π，则?2cos??3，解得??若. 46若0???
2024年全国III卷理科数学高考真题
