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2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]_历年自主招生考试数学试题大全(word版可编辑修改)2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数f(x)?(x2?a)ex有最小值，则函数g(x)?x2?2x?a的零点个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)?exg(x)，答案C．2． 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）A．a?1,b?2,c?Z B．A?1500,asinA?csinC2asinC?bsinBC．cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?600D．a?3,b?1,A?600【答案】AD．3．已知函数f(x)?x2?1,g(x)?lnx,下列说法中正确的有（ ）A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点 专业.整理 2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]_历年自主招生考试数学试题大全(word版可编辑修改)【答案】BD【解析】注意到y?x?1为函数g(x)在(1,0)处的切线,如图，因此答案BD．4．过抛物线y2?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有（ ）3A．以线段AB为直径的圆与直线x??一定相离2B．|AB|的最小值为4C．|AB|的最小值为2D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切【答案】AB11【解析】对于选项A，点M到准线x??1的距离为(|AF|?|BF|)?|AB|,于是以线段AB为223直径的圆与直线x??1一定相切，进而与直线x??一定相离；对于选项B,C，设A(4a2,4a)，2111则B(2,?)，于是|AB|?4a2?2?2，最小值为4．也可将|AB|转化为AB中点到准线的距4aa4a1离的2倍去得到最小值；对于选项D,显然BD中点的横坐标与|BM|不一定相等,因此命题错2误．x2y25．已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列说法中正ab确的有（ ）A．a?2b时，满足?F1PF2?900的点P有两个B．a?2b时,满足?F1PF2?900的点P有四个C．?PF1F2的周长小于4a 专业.整理
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