a b c d 6 e
中 环 杯 中 环 杯
12.正四面体 PQRS 的四个顶点与六条棱上各写着一个数,一共有 10个数。这10 个数为
1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次,每条棱上的数表示其连接的 两个顶点上的数之和。棱 PQ 上的数为9 ,则棱 RS 上的数为________.
S
?
R
P
9
Q
【答案】5
【解答】设六条棱上的数之和为 S 、四个顶点上的数之和为 S ,容易发现 S
棱
顶
3S
顶
棱
(每个顶点被三条棱连接,所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了 三次)。考虑到 S的情况有:1
2
棱
S
顶
1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 56,从而推出 S顶 14 ,可能
38 、1 2 4 7 、1 2
5
2 5 6 、13 4 6 ,接下来开始排除:
(1)由于 P Q 9 ,所以1(2)对于1
2
3
6 排除了(没有两个数之和为9 )
2 3 ,所以一条棱上的数应该为3,但是某个顶 3
4 6 排除
8 来说,由于1
点上的数也是3,矛盾。同样可以将1最后,剩下的只有一组选择:1
2 4 7 ,从而得到下图,所以答案为5
1
?
4
2
9
7
三、动手动脑题(本大题共 2 小题,每题 10 分,共 20 分):
13. 5 个相同的长方形放在一个正方形内,所有长方形的边都平行于正方形的对应边,正
方形的边长为 24 厘米。求:单个长方形的面积。
【答案】32
3x 24 8
2x 2y 24
x ,所以长方形的面积
y 4
【解答】假设长方形的长为 x 、宽为 y ,则
为
32cm
2
14. D 老师将写有 1、2、?、13 这 13 个数字的牌按从小到大的顺序顺时针放在一个圆周
上,开始的时候所有牌都是牌面朝上,每次翻动可以将一张牌翻成牌面朝下(一旦变 成牌面朝下,这张牌就不能翻动了)。 D 老师翻牌的规则为:若一张牌面朝上的牌上 数字为 A ,并且与这张牌相隔 2 张的牌也是牌面朝上的,那么 D 老师就可以翻动写有 数字 A 的这张牌。比如:只要写有数字 9 或者 2 的牌是牌面朝上,那么 D 老师就可以 翻动写有数字 12 的牌(当然,前提是写有数字 12 的牌还是牌面朝上的)。最后,只 要 D 老师将 12 张牌翻成牌面朝下,那么就算 D 老师成功了。为了获得成功, D 老师 有多少种不同的翻牌顺序? 【答案】26624
【解答】首先,我们将所有含数字的牌调整一下顺序,得到下图,从而将题目转化 为:若相邻的牌中有牌面朝上的,那么 D 老师就可以翻动当前的牌
1
11
4
8 5
10
2
13
12
9
6
3 7
接下来我们会发现,若两次选牌的过程中发生跳跃,那么最后必然会导致至少 2 张 牌无法翻面。如下图所示,若第一次翻 4 号牌,第二次翻 12 号牌。这样将剩下的 牌分成了两段,每段中最后都至少会留下一张牌无法翻面,从而无法满足题目的要 求。
1
11
4
8 5
10
2
13
12
9
6
3 7
至此,我们知道,第一张牌有 13 个选择,一旦第一张牌选定后,接下来被翻面的 牌都是这张牌相邻的牌。每次选择都有两种:顺时针相邻还是逆时针相邻。只要进 行 11 次选择,最后肯定留下一张牌,所以一共有13
2
11
26624种不同的翻牌顺序
小晨精品2015第十五届中环杯三年级决赛解析[XCJP]
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