a b c d 6 e
中 环 杯 中 环 杯
12.正四面体 PQRS 的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有 10个数。这10 个数为
1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的 两个顶点上的数之和。棱 PQ 上的数为9 ，则棱 RS 上的数为________.
S
?
R
P
9
Q
【答案】5
【解答】设六条棱上的数之和为 S 、四个顶点上的数之和为 S ，容易发现 S
棱
顶
3S
顶
棱
（每个顶点被三条棱连接，所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了 三次）。考虑到 S的情况有：1
2
棱
S
顶
1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 56，从而推出 S顶 14 ，可能
38 、1 2 4 7 、1 2
5
2 5 6 、13 4 6 ，接下来开始排除：
（1）由于 P Q 9 ，所以1（2）对于1
2
3
6 排除了（没有两个数之和为9 ）
2 3 ，所以一条棱上的数应该为3，但是某个顶 3
4 6 排除
8 来说，由于1
点上的数也是3，矛盾。同样可以将1最后，剩下的只有一组选择：1
2 4 7 ，从而得到下图，所以答案为5
1
?
4
2
9
7
三、动手动脑题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）：
13. 5 个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正
方形的边长为 24 厘米。求：单个长方形的面积。
【答案】32
3x 24 8
2x 2y 24
x ，所以长方形的面积
y 4
【解答】假设长方形的长为 x 、宽为 y ，则
为
32cm
2
14. D 老师将写有 1、2、?、13 这 13 个数字的牌按从小到大的顺序顺时针放在一个圆周
上，开始的时候所有牌都是牌面朝上，每次翻动可以将一张牌翻成牌面朝下（一旦变 成牌面朝下，这张牌就不能翻动了）。 D 老师翻牌的规则为：若一张牌面朝上的牌上 数字为 A ，并且与这张牌相隔 2 张的牌也是牌面朝上的，那么 D 老师就可以翻动写有 数字 A 的这张牌。比如：只要写有数字 9 或者 2 的牌是牌面朝上，那么 D 老师就可以 翻动写有数字 12 的牌（当然，前提是写有数字 12 的牌还是牌面朝上的）。最后，只 要 D 老师将 12 张牌翻成牌面朝下，那么就算 D 老师成功了。为了获得成功， D 老师 有多少种不同的翻牌顺序？ 【答案】26624
【解答】首先，我们将所有含数字的牌调整一下顺序，得到下图，从而将题目转化 为：若相邻的牌中有牌面朝上的，那么 D 老师就可以翻动当前的牌
1
11
4
8 5
10
2
13
12
9
6
3 7
接下来我们会发现，若两次选牌的过程中发生跳跃，那么最后必然会导致至少 2 张 牌无法翻面。如下图所示，若第一次翻 4 号牌，第二次翻 12 号牌。这样将剩下的 牌分成了两段，每段中最后都至少会留下一张牌无法翻面，从而无法满足题目的要 求。
1
11
4
8 5
10
2
13
12
9
6
3 7
至此，我们知道，第一张牌有 13 个选择，一旦第一张牌选定后，接下来被翻面的 牌都是这张牌相邻的牌。每次选择都有两种：顺时针相邻还是逆时针相邻。只要进 行 11 次选择，最后肯定留下一张牌，所以一共有13
2
11
26624种不同的翻牌顺序
小晨精品2015第十五届中环杯三年级决赛解析[XCJP]
