第 15 届中环杯决赛试题解析(三年级)
一、填空题 A (本大题共 8 小题,每题 6 分,共 48 分): 1. 计算: 2513
2 15
13
7
________.
【答案】2015 【解答】
25
13 2 1513 7 51310 513 21 5 5
1313
10 21 31 2015
2. 在一场上海队与北京队的篮球比赛中,姚明得到了30 分,带领上海队以10 分的优势战
胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的5 倍少10 分,那么上海队获得
______分 【答案】75分
【解答】根据题意,上海队与北京队的总得分为30
5
10
140 分,而上海队减去北
2 75分
京队的得分为10 分,根据和差问题,我们有:上海队得了140 10
3. 一个数只包含两种数字:3或者 4 ,而且3或者 4 都至少出现一个。这个数既是3的倍
数,又是 4 的倍数。这样的数最小为______. 【答案】3444
【解答】为了使得它是 4 的倍数,最后两位只能是 44 。如果只有两个数字4 ,这个 数无法成为3的倍数,所以很容易得到其最小值为3444
4. 我们有 27个111的小立方体,将其拼成一个333的大立方体,其中的一些小立方 体的某些面被涂成了灰色,最后拼成的大立方体如下图所示。那么,六个面都是白色
的小立方体最多有________个
【答案】15
【解答】我们可以数一下,发现含有灰色面的小立方体有12 个,而一共有27个小立 方体,所以六个面都是白色的小立方体最多有 27 12 15个
5. 如图,一个大三角形 ABC 被三条线段分成了七部分,其中四部分是三角形,另外三部
分是四边形。三个四边形的周长之和为 25厘米,四个三角形的周长之和为 20厘米,
三角形 ABC 的周长为19 厘米。那么 AD BE CF ______厘米
A
F
E
B
D
C
【答案】13
【解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加,那么中 间的线段都被加了两次。比如下图中的GH ,它既是四边形GFBH 的一条边、又是
的一条边。而 AB,BC,CA 都只出现一次,比如 AF BF GHI
AB 。所以我们要求的
线段之和为
25 20
A
F
G
I
19 2
13厘米
E
H
B
D
C
6. 下图是上海的地铁运营图,其中的点代表不同的地铁站台,直线代表了不同的线路。
小明是一个学生,他希望找到一种路线,使得他可以经过所有的站台。他可以从任意
的站台出发,然后到任意的站台结束(只要经过所有的站台即可)。假设他必须重复 经过 n 个站台,则 n 的最小值为________.
【答案】3
【解答】如下图,对所有的点进行标记,小明可以从
A
B C D E D F
G H
I
H
G J
K
L ,这样他必须重
复经过3个站台,接下来我们证明3是最小值。
显然, D,G 这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从 A 开始或者从 A 结 束,那么 B 肯定会被重复经过,这样就至少重复经过3个站台了;如果小明不是从 开始或者从 L 结束,那么 K 肯定会被重复经过,这样就至少重复经过3个站台了; L
如果小明从 A 开始从 L 结束,那么 H 肯定会被重复经过。所以, n 3
【说明】此题要做出答案并不难,关键在于后面的证明,考虑到填空题,所以将其 放在第6 题
B
A
F
L
G
K
J
H
I
C
D
E
7. 如果 653 整除 ab2347 ,则 a
【答案】11
b ______. 【解答】由于653 | ab2347 653 |
653 | ab3
ab2347 653
,考虑到 ab2347 653 ab3000 ,所以
1000。由于 653 是素数,并且 653 无法整除 1000,所以653 | ab3,从而推出
6
,所以 a b 5
11 a
b
8. 学校组织一次野餐会,有若干人员参加。学校准备了很多空盘子,每个到场的人员都
会将空盘子数一下,然后拿走一个空盘子去装食物(每个人只能拿走一个空盘子,不 能多拿)。第一个到会的人员会将所有的空盘子数一下,第二个到会的人员数到的空 盘子数量比第一个到会的人员少一个,
,依次类推,最后一个到会的人员发现
还有 4 个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为 2015 ,则总共有______人参加了这次野餐会。 【答案】1006
【解答】设有 x 个人参加了野餐会,空盘子总共有 2015 x 个 第1个参会人员数到有 2015 x 个空盘子; 第 2 个参会人员数到有 2014 x 个空盘子;
第 n 个参会人员数到有 2016 x n 个空盘子;
第 x 个参会人员数到有 2016 x x 2016 2x个空盘子; 从而得到方程 2016 2x 4 x 1006
二、填空题 B (本大题共 4 小题,每题 8 分,共 32 分): 9. A、B、C、D 四人有一些数量互不相同的纸牌。
A 说:“我比C 多16 张纸牌。” B 说:“ D 比C 多6 张纸牌。”
C 说:“ A 比 D 多9 张纸牌。”
D 说:“如果 A 再给我 2 张纸牌,我纸牌的数量就是C 的3倍。”
已知这四个人中,拥有纸牌数量最少的那个人说错了,其余都说对了。那么 D 有 ________张纸牌 【答案】10
【解答】首先对每个人所说的话进行翻译:
A 的意思是: AB 的意思是: D
C C
16 ; 6 ;
C 的意思是: A D 9;
D 的意思是: D 2 3C 。
由于说错话的只有一个人,而 A 和C 都说 A 不是最少的,因此, A 说的是真话。通 过 B 和 D 的话可以推断 D 的纸牌数也不是最少的。因此,说错话的只可能是 B 或
C 。
如果C 说的是正确的,则 16
A C
A D 9
D C 7 ,结合 D 2 3C 推 出
C C C ,没有整数解,矛盾。所以 B 说的是正确的,C 说的是错误
7 3 2 9 2
的。利用 B 的结论,我们有
D C 6
4
D 2 3C
C 。所以答案为10 。 D 10
10.七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色,要求:
(1)至少涂其中的两个正方形;
(2)相邻正方形不能同时被涂色(有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方 形)。
小晨精品2015第十五届中环杯三年级决赛解析[XCJP]
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