??y1＝fx1，
(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由?
?y0－y1＝f′x1?
x0－x1
求解即可．
(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢．
(1)(2016·郑州模拟)已知曲线y＝－3ln
4
x2
x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1
1＋cos xπ
(2)(2016·昆明模拟)设曲线y＝在点(，1)处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，
sin x2则实数a等于( ) A．－1 C．－2 D．2 答案 (1)A (2)A
解析 (1)设切点的横坐标为x0，
1
∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，
42
1
2
x2
x3x031
∴y′＝－，即－＝，
2x2x02
解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3. －1－cos x(2)∵y′＝，∴y?2
sinx＝－1.
x?π21
由条件知＝－1，∴a＝－1.
a
3．求曲线的切线方程
典例 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x－3x＋2x和y＝x＋a都相切，求a的值． 错解展示
3
2
2
现场纠错
解 易知点O(0,0)在曲线y＝x－3x＋2x上． (1)当O(0,0)是切点时，
由y′＝3x－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
??y＝2x，由?2
??y＝x＋a，
2
3
2
得x－2x＋a＝0，
2
依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x－3x＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x0－3x0＋2x0，k＝y?|x＝x0＝3x0－6x0＋2，①
2
2
3
2
3
又k＝＝x0－3x0＋2，②
31联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
24
y0
x0
2
1
故直线l的方程为y＝－x.
41??y＝－x，4由???y＝x2＋a，
12
得x＋x＋a＝0，
4
11
依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝. 16641
综上，a＝1或a＝.
64
纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x，则f′(0)等于( ) A．2 B．0 C．－2 D．－4 答案 D
解析 f′(x)＝2f′(1)＋2x，
令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2， 所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.
2．(2016·长沙模拟)若曲线f(x)＝x－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( ) A．(－1,2) C．(1,0) 答案 C
解析 设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x－1， 所以f′(x0)＝4x0－1＝3，即x0＝1.
3
3
4
2
B．(1，－3) D．(1,5)
把x0＝1代入函数f(x)＝x－x，得y0＝0， 所以点P的坐标为(1,0)．
3．若直线y＝x是曲线y＝x－3x＋px的切线，则实数p的值为( ) 13
A．1 B．2 D．1或 4答案 D
解析 ∵y′＝3x－6x＋p，设切点为P(x0，y0)，
??3x0－6x0＋p＝1，∴?32
?x0－3x0＋px0＝x0，?
2
2
3
2
4
0
??x0＝0，解得?
?p＝1?
3
x＝，??2或?13
p＝??4.
4．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) 1
A．e B．－e D．－ e答案 C
1
解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，
x设切点为(x0，ln x0)，则y?|x＝x0＝1
切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，
1， x0x0
因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1， 1
解得x0＝e，故此切线的斜率为.
e
5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )
A．－1 B．0 C．2 D．4 答案 B
11
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
33∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， ∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)， 又由题图可知f(3)＝1， 1
∴g′(3)＝1＋3×(－)＝0.
3
1
6．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图像的切线平行，
4则实数a的值为( ) C．1 D．4 答案 A
1?1a解析 由题意可知f??x?＝x2,g′(x)＝，
x211?2a11
由f′()＝g′()，得?()?,
44124411
可得a＝，经检验，a＝满足题意．
447．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)e
x－1
112
－f(0)x＋x，那么f(x)的解析式为 ．
2
2019版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3_1导数的概念及运算教师用书文北师大版
