1
之积为－.记M的轨迹为曲线C.
2(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.
①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值.
1xy(1)解 由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，
x＋2x－2242焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.
(2)①证明 设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0).
yy22
y＝kx，??22
由?xy＋＝1，??42
记u＝
21＋2k2
得x＝±
21＋2k2
.
，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0).
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u).
22
kk??2
由?xy??4＋2＝1，
2
2
ky＝x－u，
得(2＋k)x－2ukx＋ku－8＝0.①
22222
设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，
u3k2＋2uk3
故xG＝，由此得yG＝22.
2＋k2＋kuk3
2－uk2＋k1
从而直线PG的斜率为＝－， 2
u3k＋2k－u2
2＋k因为kPQ·kPG＝－1.
所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.
2ukk＋11
②解 由①得|PQ|＝2u1＋k，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝2
2＋k2
2
2
8k1＋k??
＝. 221＋2k2＋k1?2?1＋2?＋k?
2
?1?8?＋k?k?k?
1
设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号.
k8t因为S＝2在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值
1＋2t16为. 9
16
因此，△PQG面积的最大值为.
9
押题预测
x2y22
已知椭圆W：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点P(2a，3)，F1，F2分别是椭圆W的左、
ab2
右焦点，△PF1F2为等腰三角形. (1)求椭圆W的方程；
(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于
C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，－1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.
①求B点坐标； ②求证：|EF1|＝|F1G|. 解 (1)由已知e＝＝
ca2222
，a＝b＋c，得b＝c，a＝2c， 2
∵ △PF1F2为等腰三角形， ∴|F1F2|＝|F2P|，
则(2c)＝(2a－c)＋(3)， 代入a＝2c，解得c＝1，
∴a＝2，b＝1，∴椭圆W的方程为＋y＝1.
2(2)①由题意可得直线l1的方程为y＝x＋1.
2
2
2
2
2
x2
2
y＝x＋1，??2
与椭圆方程联立，由?x2
＋y＝1，??2
1??4
可求B?－，－?.
3??3
②当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合， 由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|. 当l2不与x轴垂直时，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为y＝k(x＋1)(k≠1).
y＝kx＋1，??2
由?x2
＋y＝1??2
2
2
2
消去y，
整理得(2k＋1)x＋4kx＋2k－2＝0， －4k2k－2则x1＋x2＝2，x1x2＝2.
2k＋12k＋1由已知，x2≠0， 则直线AD的方程为y－1＝
2
2
2
y2－1
x， x2
x2－y2＋1
. x2
1－k令x＝－1，得点E的纵坐标yE＝把y2＝k(x2＋1)代入，得yE＝4
由已知，x1≠－，
3
x2＋1
x2
.
1
3?4?1
则直线BC的方程为y＋＝?x＋?，
34?3?x1＋
3
y1＋
令x＝－1，得点G 的纵坐标yG＝
y1－x1－1
4??3?x1＋?3??
.
把y1＝k(x1＋1)代入，得yG＝
x1＋1k－1
.
3x1＋4x1＋1k－1
3x1＋4
]
yE＋yG＝
＝＝
x2＋1
x2
1－k＋
1－k[x2＋13x1＋4－x2x1＋1
x2·3x1＋41－k[2x1x2＋3x1＋x2＋4]
，
x2·3x1＋4
2
－4k把x1＋x2＝2，
2k＋1
2k－2
x1x2＝2代入到2x1x2＋3(x1＋x2)＋4中，
2k＋1
2
2k－2?－4k?2x1x2＋3(x1＋x2)＋4＝2×2＋3×?2?＋4 2k＋1?2k＋1?
2
2
＝0.
即yE＋yG＝0，即|EF1|＝|F1G|.
A组 专题通关
x2y2
1.(2019·吉林调研)已知A，B为椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的上、下顶点，|AB|＝2，且离心
ab率为3. 2
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P(x0，y0)(x0≠0)为直线y＝2上任意一点，PA，PB交椭圆于C，D两点，求四边形
ACBD面积的最大值.
解 (1)依题意|AB|＝2b＝2，则b＝1，
??e＝c＝3，又由?a2
??a2－c2＝1，
解得a＝2，
故椭圆E的方程为＋y＝1.
4
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(t,2)(不妨设t>0)， 1
则直线PA的方程为y＝x＋1，
x2
2
tt2＋428
代入椭圆方程化简得2x＋x＝0，
tt解得xA＝0，x1＝同理xB＝0，x2＝
－8t， t2＋4
2
24t， t＋36
1
∴S四边形ACBD＝S△ACB＋S△ADB＝|AB|·|x2－x1|
232t＋12t＝t4＋40t2＋144
3
＝
＝，
144122?t＋2＋40??t＋?2＋16
?12?32?t＋?t?
?
t?12?32?t＋??
t?
?t?
12
令u＝t＋≥43，
t当且仅当t＝23时，取等号， 则四边形ACBD面积为g(u)＝32×
＝u＋16
2
u32
， 16u＋
u又g(u)在[43，＋∞)上单调递减， ∴(SABCD)max＝g(43)＝23.
x2y23
2.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为.
ab2
(1)求椭圆C的标准方程；
→→
(2)若过点(－3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求OM·ON的取值范围.
解 (1)因为椭圆C的短轴长为2， 所以2b＝2，所以b＝1， 又椭圆C的离心率为
3， 2
ca2－b2a2－13所以＝＝＝，解得a＝2，
aaa2
所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.
4
x2
2
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
