1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( ) A．8 B．217 C．62 D．219
222
解析：选D.根据余弦定理，c＝a＋b－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219.
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为( )
5721A. B. 197357 D．－ 3819
222
解析：选A.c＝a＋b－2abcos C 22
＝2＋3－2×2×3×cos 120°＝19. ∴c＝19.
ac57由＝得sin A＝. sin Asin C19
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________． 解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为222
4a＋4a－a7
＝.
2·2a·2a8
7答案： 8
4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． 解：法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c， a＋c222∴()＝a＋c－2accos 60°，
2
2
整理得(a－c)＝0，∴a＝c. ∴△ABC是正三角形．
C.
法二：根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°， ∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得sin(A＋30°)＝1， ∴A＝60°，C＝60°. ∴△ABC是正三角形．
课时训练
一、选择题
1．在△ABC中，符合余弦定理的是( )
222
A．c＝a＋b－2abcos C
222
B．c＝a－b－2bccos A
222
C．b＝a－c－2bccos A
a2＋b2＋c2
D．cos C＝ 2ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题． 2．(2024年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是( ) 125A. B. 1313
2
C．0 D.
3
a2＋b2－c2
解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝＝
2ab0.
3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
222
解析：选B.∵4＝16＞2＋3＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
222
4．在△ABC中，已知a＝b＋bc＋c，则角A为( ) ππA. B. 362ππ2πC. D.或 333
解析：选C.由已知得b＋c－a＝－bc，
b2＋c2－a21
∴cos A＝＝－，
2bc2
2π
又∵0＜A＜π，∴A＝，故选C.
3
5．在△ABC中，下列关系式 ①asin B＝bsin A ②a＝bcos C＋ccos B 222
③a＋b－c＝2abcos C ④b＝csin A＋asin C 一定成立的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．
2
6．在△ABC中，已知b＝ac且c＝2a，则cos B等于( ) 13A. B. 4422 D. 43
2
解析：选B.∵b＝ac，c＝2a， 22
∴b＝2a，
a2＋c2－b2a2＋4a2－2a2
∴cos B＝＝
2ac2a·2a3＝. 4
二、填空题
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 解析：由余弦定理，
222
得BC＝AB＋AC－2AB·AC·cosA，
12
即49＝25＋AC－2×5×AC×(－)，
2
2
AC＋5AC－24＝0.
∴AC＝3或AC＝－8(舍去)． 答案：3
2
8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．
1122
解析：解方程可得该夹角的余弦值为，由余弦定理得：4＋5－2×4×5×＝21，∴第
22
C.
三边长是21.
答案：21
9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________． 解析：由正弦定理，
得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8. 不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
222
5k＋8k－7k1
则cos B＝＝，
2×5k×8k2
π∴B＝. 3
222
π答案： 3
三、解答题
3
10．已知在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，求角C.
5
解：A为b，c的夹角，
222
由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A，
32
∴16＝9＋c－6×c，
5
2
整理得5c－18c－35＝0.
7
解得c＝5或c＝－(舍)．
5
a2＋b2－c216＋9－25
由余弦定理得cos C＝＝＝0，
2ab2×4×3
∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.
11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．
解：由题意可知，
(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
222
于是有a＋2ab＋b－c＝3ab， a2＋b2－c21即＝，
2ab2
1
所以cos C＝，所以C＝60°.
2
12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．
a2＋c2－b2
解：由余弦定理知cos B＝，代入c＝acos B，
2aca2＋c2－b2222
得c＝a·，∴c＋b＝a，
2ac∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
又∵b＝asin C，∴b＝a·，∴b＝c，
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．精品推荐 强力推荐 值得拥有 ca精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用 精品强烈推荐下载即可使用
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