?0?z?1,?π8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，?:?0???,所以
2z ??0?r?1,1 O…………O…………O…………O…………O装…………O订…………O线…………O…………O…………O…………O ????xydxdydz???10dz?2d?0π?10rcos??rsin??rdr ( 4分) O 1 ππ20y =?12sin2?d?10rdr=(?3cos2?4)2?r410401?x . (7分) 8四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为limun?0,limvn?0，（2分）
n??n???故存在N，当n?N时，(un?vn)?un?vn?2unvn?3un，因此?(un?vn)2收敛。（8
222n?1分） 2．证明：因为分）
因此设f(x,y)?x?g(y)，从而
2?f?x?2x，且
?(2xy)?y故曲线积分?2xydx?f(x,y)dy与路径无关．（4?2x，
L? (t,1) (0,0)2xydx?f(x,y)dy?? t 00dx? 1? 1 0[t?g(y)]dy?t?[1?g(y)]dy?t?22? t 010（5分） g(y)dy，
? (1,t) (0,0)2xydx?f(x,y)dy? 1 0? 00dx?? t 0?（6分） g(y)dy，
由此得t?2?g(y)dy?t?? t 0g(y)dy对任意t成立，于是g(t)?2t?1，即
f(x,y)?x2?g(y)?x2（8分） ?2y?1．
高数下册期末试题
?0?z?1,?π8.解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，?:?0???,所以2z??0?r?1,1O…………O…………O…………O…………O装…………O订…………O线…………O…………O…………O…………O????xydxdydz???10dz?2d?0π?10rcos??rsin??rdr(4分)O1ππ20y=?12sin2?d?10rdr=(?
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