一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数f(x,y)在P(x0,y0)的两个偏导fx(x0,y0)，fy(x0,y0) 都存在，则 ( )
A．f(x,y)在P连续 B．f(x,y)在P可微 C． limf(x,y0)及 limf(x0,y)都存在 D．
limf(x,y)存在
x?x0y?y0(x,y)?(x0,y0)2．若z?ylnx，则dz等于（ ）．
.ylnxAlnyylnxlnyylnxlnyx?y B.x
lnxxlnxC.ylnxlnydx?ylnyxdy D.ylnlnyxdx?ylnxydy
3．设?是圆柱面x2?y2?2x及平面z?0,z?1所围成的区域，则
???f(x,y,z)dxdydz?( ）．
??A.?22cos?dr?10d??00f(rcos?,rsin?,z)dz?B.?210d??2cos?0rdr?0f(rcos?,rsin?,z)dz
?C.?22cos???d?2?0rdr?10f(rcos?,rsin?,z)dz?D.?d??2cosx100rdr?0f(rcos?,rsin?,z)dz
?4． 4．若?an(x?1)n在x??1处收敛，则此级数在x?2处（ ）．
n?1 A． 条件收敛 B． 绝对收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定
5．曲线x?y?z?2???z?x2?y2在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）.
A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1
．设x?2y?，x?z'x(? 1 , 1 ) .
则yz2．交 换I??e1dx?lnx0f(x,y)dy的积分次序后，I?_____________________．
3．设u?2xy?z2，则u在点M(2,?1,1)处的梯度为 .
?x4. 已知e??n?0xnn!，则
xe?x? . 5. 函数z?x3?y3?3x2?3y2的极小值点是 .
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1.（本小题满分6分）设z?yarctan
2.（本小题满分6分）求椭球面2x?3y?z?9的平行于平面2x?3y?2z?1?0的切平面方程，并求切点处的法线方程
?1?3?3. （本小题满分7分）求函数z?x?y在点(1,2)处沿向量l?i?j方向的方向导
2222222yx, 求
?z?x,
?z?y.
数。
4. （本小题满分7分）将f(x)?
5．（本小题满分7分）求由方程2x?2y?z?8yz?z?8?0所确定的隐函数
z?z(x,y)的极值。
2221x展开成x?3的幂级数，并求收敛域。
6．（本小题满分7分）计算二重积分??(x2?y2)d?,D由曲线x??1?y2,y??1,y?1D及x??2围成.
7.（本小题满分7分）利用格林公式计算?xy2dy?x2ydx，其中L是圆周x?y?a（按
L222逆时针方向）.
8.（本小题满分7分）计算
???xydxdydz?22，其中?是由柱面x?y?1及平面
z?1,x?0,y?0所围成且在第一卦限内的区域.
.
四、综合题（共16分，每小题8分）
???1．（本小题满分8分）设级数?un,?vn都收敛，证明级数?(un?vn)2收敛。
n?1n?1n?1
2．（本小题满分8分）设函数f(x,y)在R内具有一阶连续偏导数，且
2?f?x?2x，
证明曲线积分?2xydx?f(x,y)dy与路径无关．若对任意的t恒有
L? (t,1) (0,0)2xydx?f(x,y)dy?? (1,t) (0,0)2xydx?f(x,y)dy，求f(x,y)的表达式．
参考答案及评分标准
一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I??10dy?eey????f(x,y)dx 3. ?2i?4j?2k 4
?n?0(?1)xn!nn?1 5. (2,2)
三、解答题（共54分，每小题6--7分） 1．解：
?z?x??y222x?yxyx?y2; (3分)
?z?y=arctanyx+
2 ( 6分).
?2x3y0z2. 解：记切点(x0,y0,z0) 则切平面的法向量为n?2(2x0,3y0,z0)满足：0??0 ，
2?32切点为：(1,?1,2)或(?1,1,?2) (3分)，切平面：2x?3y?2z?9or?9 ( 4分)， 法线方程分别为：
x?12?y?1?3?z?22或者
x?12?y?1?3?z?22 ( 6分)
3. 解：?f(1,2)?(2,4) ( 3分),
?f(1,2)??1?23 ( 7分) ?l4. 解：f(x)?13?(x?3)=
13?1?(1x?33), ( 2分)
?因为 ?(?1)x?n?0nn11?x，x?(?1,1),所以
13?1?(1x?33)???n?0(?1)n13?(x?33)=
nx?3n1n?1n,其中?1??1 ，即0?x?6.( 5分) (?1)()(x?3)?33n?0??当x?0时，级数为?n?0?13?发散；当x?6时，级数为?(?1)n?n?013发散,故
1x=
n1n?1n(?1)()(x?3)，x?(0,6)， ( 7分) ?3n?04x??z???x1?2z?8y?0?5. 解：由?, 得到x?0与y?2z?0, ( 2分)
??z?4(y?2z)?0???y1?2z?8y 再代入2x2?2y?z?8yz?z?8?0，得到7z222?z?8?0即z?1,?167)。 ( 4分)
87。
由此可知隐函数z?z(x,y)的驻点为(0,?2)与(0,?z?x22由?41?2z?8y，
?z?x?y2?0，
?z?y222?41?2z?8y，可知在驻点(0,?2)与(0,167)有H?0。( 5分)
在(0,?2)点，z?1，因此 分) 在(0,167z??)点，
87?z?x2?415?0，所以(0,?2)为极小值点，极小值为z?1；( 6
，因此
?z?x22??415所以(0,?0，
167极大值为z??)为极大值点，
87，
( 7分)
??2?x?06. 解：记D1:?D2?1?y?1?2???1?y?x?0，则D?D1?D2.（2分） 故 :????1?y?12??(xD2?y)d??2??(xD1?y)d??02??(xD22?y)d? ( 4分)
12??13?22?1dy?(x?y)dx??2??22d??0rdr?3203L??42 （7分）
22227. 解：L所围区域D：x?y?a,由格林公式，可得
?2xydy?xydx=
??D(?(xy)?x2??(?xy)?y2)dxdy=??(x?y)dxdy=?D222π0d??a0r?rdr?π2a.(7分)
4
?0?z?1,?π8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，?:?0???,所以
2z ??0?r?1,1 O…………O…………O…………O…………O装…………O订…………O线…………O…………O…………O…………O ????xydxdydz???10dz?2d?0π?10rcos??rsin??rdr ( 4分) O 1 ππ20y =?12sin2?d?10rdr=(?3cos2?4)2?r410401?x . (7分) 8四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为limun?0,limvn?0，（2分）
n??n???故存在N，当n?N时，(un?vn)?un?vn?2unvn?3un，因此?(un?vn)2收敛。（8
222n?1分） 2．证明：因为分）
因此设f(x,y)?x?g(y)，从而
2?f?x?2x，且
?(2xy)?y故曲线积分?2xydx?f(x,y)dy与路径无关．（4?2x，
L? (t,1) (0,0)2xydx?f(x,y)dy?? t 00dx? 1? 1 0[t?g(y)]dy?t?[1?g(y)]dy?t?22? t 010（5分） g(y)dy，
? (1,t) (0,0)2xydx?f(x,y)dy? 1 0? 00dx?? t 0?（6分） g(y)dy，
由此得t?2?g(y)dy?t?? t 0g(y)dy对任意t成立，于是g(t)?2t?1，即
f(x,y)?x2?g(y)?x2（8分） ?2y?1．
高数下册期末试题
