中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案
《高等数学》
一、填空题
1．函数y?x2?4?1的定义域是 . x?1解. (??,?2]?[2,??) 。
2．若函数f(x?1)?x?2x?5，则f(x)? 解. x?6 3．lim答案：1
正确解法：lim22 ．
x?sinx?________________
x??xx?sinxsinxsinx?lim(1?)?lim1?lim?1?0?1
x??x??x??x??xxxx2?ax?b?2，则a?_____, b?_____。 4.已知lim2x?2x?x?2由所给极限存在知, 4?2a?b?0, 得b??2a?4, 又由
x2?ax?bx?a?2a?4lim2?lim??2, 知a?2,b??8 x?2x?x?2x?2x?13ex?b??，则a?_____, b?_____。 5.已知limx?0(x?a)(x?1)ex?b(x?a)(x?1)a?lim??, 即lim??0, ?a?0,b?1 xx?0(x?a)(x?1)x?01?be?b1??xsin6．函数f(x)??x??x?1x?0x?0的间断点是x? 。
解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。 因为 lim?xsinx?01?0lim?(x?1)?1f(0)?1
x?0x所以函数f(x)在x?0处是间断的，
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。
7. 设y?x?x?1??x?2?????x?n?, 则y2?n?1??(n?1)!
8．f(x)?x，则f(f?(x)?1)?__________。 答案：(2x?1)或4x?4x?1
224x?y29．函数z?的定义域为 。
ln(1?x2?y2)解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。
?4x?y2?0?y2?4x?y2?4x?????2?222221?x?y?0?x?y?1????0?x?y?1 ??2?2221?x?y?1x?y?0???????z 的定义域为：(x,y)|0?x2?y2?1且y2?4x}
?10．已知f(x?y,x?y)?xy?xy,则f(x,y)? . 解 令x?y?u，x?y?v，则x?u?vu?v,y?，f(x?y)(x?y)?xy(x?y) 2222f(u,v)?u?vu?vuu2x?(u?v2)，f(x,y)?(x2?y2)
4222411．设f(x,y)?xy?x,则fx?(0,1)? 。fy?(0,1)? x2?y2∵ f(0,1)?0?0?0
fx?(0,1)?limf(?x,1)?f(0,1)?lim?x?0?x?x??x?0?x2?1?2 ?x?x?0fy?(0,1)?lim?y?0f(0,?y?1)?f(0,1)0?0?lim?0。 ?y?0?y?y12． 设z?x2?siny,x?cost,y?t3,则
解 13.
dz??2xsint?3t2cosy dtdz＝ 。 dtdd?df(x)dx? . ?dxdd?df(x)dx?f(x). 解：由导数与积分互为逆运算得，?dx14.设f(x)是连续函数，且
? x3?1 0f(t)dt?x，则f(7)? . 13x2?x?2233解：两边对x求导得3xf(x?1)?1，令x?1?7，得x?2，所以f(7)?1. 121，则k?_________。 ?02??11b?kx?kx答案：∵??edx?lim??ed(?kx)
0b???2k01?kxb111 ?lim?e??lime?kb?
0b???kkb???kk∴k?2
15．若
??e?kxdx?16．设函数f(x,y)连续，且满足f(x,y)?xf(x,y)=______________.
??Df(x,y)d??y2，其中D:x2?y2?a2,则
4?a4x. 解 y?42 记A???DDf(x,y)d?，则f(x,y)?Ax?y2，两端在D上积分有：
，
其
中
A???Axd????y2d?DA??xd??0D（由对称性），
??yD2d???d???sin?d??002?a32?a44.
即 A?2?a44，所以，f(x,y)?y?22?a44x.
17．求曲线y?4ax,x? 解：
22a 3ay所围成图形的面积为 ，（a>0） 218.
?2n?12n?2x； n2n?12?解：令y?x，则原幂级数成为不缺项的幂级数
2n?1n?1y，记其各项系数为bn，因?n2n?1?bn2n?12n?12n?12?2?y?2?0?x?2，?lim??2lim?2为R?lim，则nn??bn??n??2n?12n?12n?1故?2?x?2.
1?当x??2时，幂级数成为数项级数?(2n?1)，此级数发散，故原幂级数的收敛区间
2n?1为(?2,2).
111?1?19．?y????y??0的满足初始条件y?1??,y??1??的特解为y??x??.
12412?2?2320．微分方程y???3y??0的通解为y?c1?c2e. 21．微分方程y???6y??13y?0的通解为y?e?3x3x?c1cos2x?c2sin2x?.
22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|?A???A??|= . 答案：??1?n1 31x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . ?1?123.11?111 答案： 2;
31x24. f(x)=x25是 次多项式，其一次项的系数是 。 14x解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。
25. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC . 26. 事件A、B相互独立，且知P?A??0.2,P?B??0.5则P?A解：∵A、B相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6
27. A，B二个事件互不相容，P?A??0.8,P?B??0.1,则P?A?B?? . 解： A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8
28. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .
解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰
有一次击中目标可表示为ABC?ABC?ABC，即有 P(ABC?ABC?ABC)
=P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)=0.36
29. 已知事件 A、B的概率分别为P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且P（AB）＝0.4，则P（A＝ ；P（A－B）＝ ； 解： P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9
P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3
30. 若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为 .
B?? .
B）
解：P(A+B)=1–P(A?B)?1?P(AB)?1?p
二、单项选择题
ax?1(a?0,a?1)（ ） 1．函数f(x)?xxa?1 A.是奇函数； B. 是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。
a?x?1a?x(1?ax)ax?1 f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x)
a?1a(1?ax)a?1所以B正确。 2．若函数f(x?211)?x2?2，则f(x)?（ ） xx22 A.x； B. x?2； C.(x?1)； D. x?1。 解：因为x?2211121122，所以?x?2??2?(x?)?2f(x?)?(x?)?2
xxxx2x22则f(x)?x?2，故选项B正确。
3．设f(x)?x?1 ，则f(f(x)?1)=（ ）．
A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3
解 由于f(x)?x?1，得 f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1＝f(x)?2 将f(x)?x?1代入，得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3 正确答案：D
x2?ax?b)?0，其中a,b是常数，则（ ） 4．已知lim(x??x?1(A) a?1,b?1, (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1
?x21?a?x2??a?b?x?b?ax?b)?lim?0, 解. ?lim(x??x?1x??x?1?1?a?0,a?b?0,?a?1,b??1 答案：C
5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A.e,1x(x??)； B.
sinx,(x??)； x
高等数学(专科)复习题及答案
