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刚体的运动学与动力学问题
编者按 中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会 2000 年第十九次会议对《全国中学生物理竞赛内容提要》作了一些调整和补充，并决定从 2002 年起在复赛题与决赛题中使用提要中增补的内容． 一、竞赛涉及有关刚体的知识概要 1. 刚体
在无论多大的外力作用下，总保持其形状和大小不变的物体称为刚体．刚体是一种理想化模型，实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可将其视为刚体，刚体内各质点之间的距离保持不变是其重要的模型特征． 2 . 刚体的平动和转动
刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同的，这种运动叫做平动．研究刚体的平动时，可选取刚体上任意一个质点为研究对象．刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫做转动，而所绕的直线叫做转轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动．刚体的任何一个复杂运动总可看做平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理． 3. 质心 质心运动定律
质心 这是一个等效意义的概念，即对于任何一个刚体（或质点系），总可以找到一点Ｃ，它的运动就代表整个刚体（或质点系）的平动，它的运动规律就等效于将刚体（或质点系）的质量集中在点Ｃ，刚体（或质点系）所受外力也全部作用在点Ｃ时，这个点叫做质心．当外力的作用线通过刚体的质心时，刚体仅做平动；当外力作用线不通过质心时，整个物体的运动是随质心的平动及绕质心的转动的合成． 质心运动定律 物体受外力 F 作用时，其质心的加速度为ａ Ｃ ，则必有Ｆ＝ｍａＣ，这就是质心运动定律，该定律表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此、外力亦作用于此点时应有的运动． 4 . 刚体的转动惯量Ｊ
刚体的转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量ｍｉ与该质点到转轴的距离ｒｉ的平方的乘积的总和，即
Ｊ＝ ｍｉｒｉ2 ．
从转动惯量的定义式可知，刚体的转动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况．我们可以利用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量． 5. 描述转动状态的物理量
对应于平动状态参量的速度ｖ、加速度ａ、动量ｐ＝ｍｖ、动能Ｅ ｋ ＝（ 1 ／ 2 ）ｍｖ；描述刚体定轴转动状态的物理量有：
角速度 ω 角速度的定义为 ω ＝ 与角速度之间的关系为ｖ＝ｒ ω ． 角加速度 角加速度的定义为 α ＝ 度与角加速度的关系为ａ ｔ ＝ｒ α ．
角动量Ｌ 角动量也叫做动量矩，物体对定轴转动时，在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处某质量为ｍ的质点的角动量大小是ｍｖｒ＝ｍｒω ，各质点角动量的总和即为物体的角动量，即 Ｌ＝
ｍｉｖｉｒｉ ＝（
ｍｉｒｉ2 ） ω ＝Ｊ ω ．
２
２
Δθ ／ Δ ｔ．在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处的线速度
Δω ／ Δ ｔ．在垂直于转轴、离转轴距离ｒ处的线加速
转动动能Ｅ ｋ 当刚体做转动时，各质点具有共同的角速度 ω 及不同的线速度ｖ，若第ｉ个质点质
.
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量为ｍｉ，离转轴垂直距离为ｒ ｉ ，则其转动动能为（ 1 ／ 2 ）ｍｉｖ ｉ ２ ＝（ 1 ／ 2 ）ｍｉｒｉ2 ω ２ ，整个刚体因转动而具有的动能为所有质点的转动动能的总和，即 Ｅ ｋ ＝（ 1 ／ 2 ）（
ｍｉｒｉ2 ） ω ２ ＝（ 1 ／ 2 ）Ｊ ω ２ ．
6 . 力矩Ｍ 力矩的功Ｗ 冲量矩Ｉ
如同力的作用是使质点运动状态改变、产生加速度的原因一样，力矩是改变刚体转动状态、使刚体获得角加速度的原因．力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩，即 Ｍ＝Ｆｄ．
类似于力的作用对位移的累积叫做功，力矩的作用对角位移的累积叫做力矩的功．恒力矩Ｍ的作用使刚体转过 θ 角时，力矩所做的功为力矩和角位移的乘积，即Ａ＝Ｍ θ ．
与冲量是力的作用对时间的累积相似，力矩的作用对时间的累积叫做冲量矩，冲量矩定义为力矩乘以力矩作用的时间，即Ｉ＝Ｍ Δ ｔ． 7. 刚体绕定轴转动的基本规律
转动定理 刚体在合外力矩Ｍ的作用下，所获得的角加速度与合外力矩大小成正比，与转动惯量Ｊ成反比，即
Ｍ＝Ｊ α ．如同质点运动的牛顿第二定律可表述为动量形式，转动定理的角动量表述形式是
Ｍ＝ Δ Ｌ／ Δ ｔ．
转动动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，即 Ｗ＝（ 1 ／ 2 ）Ｊ ω １ ２ －（ 1 ／ 2 ）Ｊ ω O2． 该定理揭示了力矩作用对角位移的积累效应是改变刚体的转动动能．
角动量定理 转动物体所受的冲量矩等于该物体在这段时间内角动量的增量，即 Ｍ Δ ｔ＝Ｌ １ －Ｌ ０ ＝Ｊ ω ｔ －Ｊ ω ０ ．
该定理体现了力矩作用的时间积累效应是改变刚体转动中的动量矩．
角动量守恒定律 当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变，此即角动量守恒定律．该定律适用于物体、物体组或质点系当不受外力矩或所受合外力矩为零的情况．在运用角动量守恒定律时，要注意确定满足守恒条件的参照系．
如果将上述描述刚体的物理量及刚体的运动学与动力学规律与质点相对照（如表 1 所示），可以发现它们极具平移对称性，依据我们对后者的熟巧，一定可以很快把握刚体转动问题的规律． 表 1
质点的直线运动 位移 ｓ
速度ｖ ｖ＝ 加速度ａ ａ＝
Δ ｓ／ Δ ｔ Δ ｖ／ Δ ｔ
刚体的定轴转动 角位移 θ
角速度 ω ω ＝ 角加速度 α α ＝
Δθ ／ Δ ｔ Δω ／ Δ ｔ
匀速直线运动 ｓ＝ｖｔ
匀变速直线运动 ｖ １ ＝ｖ ０ ＋ａｔ ｓ＝ｖ ０ ｔ＋（ 1 ／ 2 ）ａｔ
ｖ ｔ2 －ｖ ０＝ 2 ａｓ
牛顿第二定律 Ｆ＝ｍａ
２
２
匀角速转动 θ ＝ ω ｔ
匀变速转动
ω １ ＝ ω ０ ＋ α ｔ
θ ＝ ω ０ ｔ＋（ 1 ／ 2 ） α ｔ
ω t2－ ω O2＝ 2αθ
转动定理 Ｍ＝Ｊ α
２
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动量定理
Ｆｔ＝ｍ ｖ ｔ－ｍｖ ０ （恒力）
动能定理
２
角动量定理
Ｍｔ＝Ｊ ω ｔ －Ｊ ω ０
转动动能定理
O2 角动量守恒定律 Ｊ ω ＝常量
Ｆｓ＝（ 1 ／ 2 ）ｍｖ ｔ2 －（ 1 ／ 2 ）ｍｖ ０Ｍ θ ＝（ 1 ／ 2 ）Ｊ ω t2－（ 1 ／ 2 ）Ｊ ω
动量守恒定律 ｍｖ＝常量
二、确定物体转动惯量的方法
物体的转动惯量是刚体转动状态改变的内因，求解转动刚体的动力学问题，离不开转动惯量的确定．确定刚体的转动惯量的途径通常有： 1. 从转动惯量的定义来确定
对于一些质量均匀分布、形状规则的几何体，计算它们关于对称轴的转动惯量，往往从定义出发，运用微元集合法，只需要初等数学即可求得．
例 1 如图 1 所示，正六角棱柱形状的刚体的质量为Ｍ，密度均匀，其横截面六边形边长为ａ．试求该棱柱体相对于它的中心对称轴的转动惯量．
图 1
分析与解 这里求的是规则形状的几何体关于它的中心对称轴的转动惯量．从转动惯量的定义出发，我们可将棱柱沿截面的径向均匀分割成ｎ（ｎ →∞ ）个厚度均为（
／ 2 ） · （ａ／ｎ）、棱长
为ｌ的六棱柱薄壳，确定任意一个这样的薄壳对中心轴的元转动惯量Ｊｉ，然后求和即可，有
Ｊ＝ Ｊ ｉ ．
图 2
现在，先给出一矩形薄板关于与板的一条边平行的轴ＯＯ ′ 的转动惯量．板的尺寸标注如图 2 所示，质量为ｍ且均匀分布，轴ＯＯ ′ 与板的距离为ｈ，沿长为ｂ的边将板无限切分成ｎ条长为ｌ、宽为ｂ／.
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ｎ的窄条，则有
Ｊ 板 ＝ｌｉｍ （ｍ／ｂｌ） · （ｂ／ｎ） · ｌ［ｈ ２ ＋（ｉｂ／ｎ） ２ ］
＝ｍ ［（ｈ ２ ／ｎ）＋（ｉ ２ ／ｎ ３ ）ｂ ２ ］
＝ｍ（ｈ ２ ＋（ｂ ２ ／ 3 ））．
回到先前的六棱柱薄壳元上，如图 1 所示，由对称性可知其中第ｉ个薄壳元的ｈ ｉ ＝ｉ ｎ，ｂ＝ｉａ／ 2 ｎ．薄壳元对轴ＯＯ ′ 的转动惯量是 1 2 Ｊ 板 ，即 Ｊ ｉ =1 2ρ ｌ（ａ （ｉａ／ 2 ｎ） ２ ］． 式中， ρ 是六棱柱体的密度，即
ρ ＝Ｍ／ 6 × （ 1 ／ 2 ） · ａ ２ · （ 则六棱柱体对中心对称轴ＯＯ ′ 的转动惯量为
／ 2 ）ｌ＝ 2 Ｍ／ 3
ａ ２ ｌ．
／ 2 ｎ）（ｉａ／ 2 ｎ）［（ｉａ
／ 2 ｎ） ２ ＋（ 1 ／ 3 ）
ａ／ 2
Ｊ＝ 1 2 ρ ｌ · （ａ／ｎ） · （ ／ 2 ） · （ｉａ／ 2 ｎ）［（（ｉａ／ｎ） · （
／ 2 ）） ２ ＋（ 1 ／ 3 ）（ｉａ／ 2 ｎ）］
＝ 1 2 1 2 ］
ρ ｌ · （ ａ ４ ／ 4 ） · （ｉ ３ ／ｎ ４ ） · ［ 3 ／ 4 ＋ 1 ／
＝（ 5 Ma2 ／ 3 ） ｉ ３ ／ｎ ４
＝（ 5 Ma2 ／ 3 ） ＝（ 5 Ma2 ／ 3 ） ＝ 5 Ma2 ／ 1 2 ． 2 . 借助于平行轴定理
（ 1 ／ｎ ４ ）（ 1 ３ ＋ 2 ３ ＋ … ＋ｎ ３ ）
（ 1 ／ｎ ４ ） · （ｎ ２ （ｎ＋ 1 ） ２ ／ 4 ）
在刚体绕某点转动时，需对过该点的轴求转动惯量，借助于平行轴定理，可以解决这样的问题：已知刚体对过质心的轴的转动惯量，如何求对不通过质心但平行于过质心转轴的轴的转动惯量．
平行轴定理：设任意物体绕某固定轴Ｏ的转动惯量为Ｊ，绕过质心而平行于轴Ｏ的转动惯量为ＪＣ，则有Ｊ＝ＪＣ＋Ｍｄ ２ ，式中 d 为两轴之间的距离，Ｍ为物体的质量．
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图 3
证明：如图 3 所示，Ｃ为过刚体质心并与纸面垂直的轴，Ｏ为与它平行的另一轴，两轴相距为ｄ，在与轴垂直的平面内以质心Ｃ为原点，过ＣＯ的直线为ｘ轴，建立ｘＣｙ坐标系．Ｍ ｉ 代表刚体上任一微元的质量，它与轴Ｃ及轴Ｏ的距离依次为Ｒ ｉ 和ｒ ｉ ，微元与质心连线与ｘ轴方向的夹角为 θ ｉ ，由转动惯量的定义知，刚体对轴Ｏ的转动惯量应为
Ｊ＝ ｍｉｒｉ2
＝ ｍｉ（Ｒ ｉ ２ ＋ｄ ２ － 2 ｄＲ ｉ ｃｏｓ θ ）
＝ ｍｉＲ ｉ ２ ＋ ｍｉｄ ２ － 2 ｄ ｍｉＲ ｉ ｃｏｓ θ ｉ ．
上式中第一项即为刚体对质心Ｃ的转动惯量ＪＣ；第二项Ｊ＝ ｍｉｄ ２ ＝ｄ ２ ｍｉ＝Ｍｄ
２ ，Ｍ是刚体的总质量；而第三项中 ｍｉＲ ｉ ｃｏｓ θ ｉ ＝ ｍｉｘｉ，ｘｉ是质量元在ｘＣ
ｙ平面坐标系内的ｘ坐标，按质心的定义，有
ｍｉｘｉ＝ 0 ，所以Ｊ＝ＪＣ＋Ｍｄ ２ ．
在上述例 1 中，我们已求得正六棱柱关于其中心轴的转动惯量，利用平行轴定理，我们还可求得六棱柱相对于棱边的转动惯量为
Ｊ ′ ＝（ 5 ／ 1 2 ）Ma2 ＋Ma2 ＝（ 17 ／ 1 2 ）Ma2 ． 3. 运用垂直轴定理
对任意的刚体，任取直角三维坐标系Ｏｘｙｚ，刚体对ｘ、ｙ、 z 轴的转动惯量分别为Ｊｘ、Ｊｙ、Ｊｚ，
可以证明Ｊｘ＋Ｊｙ＋Ｊｚ＝ 2 ｍｉｒｉ2 ，ｒ ｉ 是质元到坐标原点的距离．
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刚体的运动学与动力学问题
