第六章 统计量及抽样分布
概率论和数理统计都是研究随机现象规律性的数学分支。
（1） 概率论特点：先提出随机现象的数学模型，然后研究其特性和规律 （2） 数理统计：
（3） I）以概率论为理论前提，从实际观测或试验出发； II) 研究如何有效的收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并为之建立适当的
数学模型；
III)对其进行检验，在此基础上对所研究的问题作出推断和预测，为采取行动和决策
提供依据和建议。
§1总体、样本与统计量
一、总体与样本
在实际问题中，我们往往只能通过观察和试验来获取研究对象的信息，但是，如果要把 全体研究对象逐个一一检查，常常是不必要或不可能的. 如：（1）对自动生产线上高速生产的零件逐个检查，要耗费很多的人力、物力、财力及时间，且非必要；
（2）为考察某些产品如灯泡的寿命，横梁的耐冲击强度等而进行的破坏性试验，逐个检查将使生产失去意义 所以，实际问题中，只能也只需通过测试部分对象的数据，由此来推断全体研究对象的性质，由部分推断总体。这是数理统计面对的基本问题。 1、 总体：研究对象的全体，如一批灯泡的寿命
具体：研究对象的某个或某几个特性的数量指标，所有的可能取值所构成的集合。
如，研究对象：一个城市的居民家庭；X：人均收入；Y：人均支出；Z：人均居住面积，
X??X1,X2,LXn...?则三个总体：?X,Y?? ??X,Y?,?X,Y?,L??X,Y,Z????X,Y,Z?,?X,Y,Z?,L?1122111222通常我们学习研究对象的一个特性的数量指标，所有可能取值所构成的集合。如，X：灯泡寿命，总体X??x1,x2,L?，其中灯泡是研究对象，寿命是数量指标。
2、 个体：组成总体的每一个基本单元（集合中的元素）
3、 样本：从总体中随机地抽取几个个体所组成地集合，称为总体地一个样本：
?X1,X2,LXn?，通常看为n维随机变量
（1） 样本容量：样本中所含个体地个数n，?n?1,2,L??总体中个体元素个数
（2） 样本值：X1,X2,LXn的一个观测，记为：x1,x2,Lxn
4、 抽样：从总体中抽取样本的过程。这里指随机抽样。目的：通过样本得到总体的相应情
况。
（1）简单随机抽样：数理统计最常用的抽样方法。
满足特点：代表性：总体中每个个体被抽入样本的机会均等，即每个Xi（个体）与总体X
具有相同分布；
独立性：样本中每个个体取什么值并不影响其它个体取什么值，即X1,X2,LXn相互独立。
（2）简单随机样本：简称样本（指用简单抽样方法获得的样本）。 即：X1,X2,LXn为简单随机样本????X1,X2,LXn相互独立;
X,X,LX与X具有相同的分布???12n?如，一批灯泡5万只，随机抽取1000只检查其寿命Xi，?i?1,2,L1000?，其中4只寿命低于规律值，为次品，总体X??X1,X2,LX50000?，一个样本X1,X2,LX1000,?样本的次品率为0.4％。可推断，总体的次品率为0.4％。
（4） 这里可得到简单随机样本的方式：通常采用
有放回地重复随机抽样：通常针对有限总体，尤其总体容量较小时；
无放回…………………：指无限总体或样本容量相对较少，如小于等于总体的5％时。 5、 样本X1,X2,LXn的联合密度函数p?x1,x2,Lxn??p?x1?p?x2?Lp?xn?，其中：总体X是
连续型随机变量，其密度函数为p?x?。 二、统计量
1、统计量：设X1,X2,LXn为取自总体X的一个样本，g?x1,x2,Lxn?为一个连续函数，且不含未知参数，则称g?x1,x2,Lxn?为统计量。
如：总体X~N??,?2?，X1,X2,LXn为取自总体X的一个样本， （1）?未知，?已知，则含?的不是；
（2）?未知，?未知，则含?或含?的不是；
简单地讲：统计量满足a）是样本X1,X2,LXn的实值函数；b）样本观测值?x1,x2,Lxn?？，就可求出统计量的具体值。 2、常用统计量
设X1,X2,LXn为取自总体X的一个样本，
1n（1）样本均值：X??Xi
ni?11n（2）样本方差：S?Xi?X?n?1i?12??221n2 ?X?nX?in?1i?1??证明：（略）
1nXi?X（3）样本均方差（标准差）：S??n?1i?1??2 样本方差S与均方差S都反映了总体波动的大小，即反映总体D?X?,D?X?的信息。
2例1、从一批袋装食品中随机抽取6袋，测得其重量（单位：克），如下：462，465，451，472，459，448。求样本均值X和样本方差S。
解：总体X：指这批食品的重量（各袋重量构成的集合）； 样本?X1,X2,LX6?是抽取6袋食品的重量
样本值：（462，465，451，472，459，448）为这次抽取6袋食品测得的重量
2X?X2?L?X6462?465?L?44816??459.5 （1）X??Xi?16i?16622161?2222Xi?6X??X1?X2?LX6?6X?（2）S??? ?6?1i?15?2?? ?或S?214622?4652?L?4482?6?459.52??79.5 ?51?222462?459.5???465?459.5??L??448?459.5???79.5 ??5?§2样本分布函数
设x1,x2,Lxn为取自总体X的一组样本值，可用频率分布表和直方图粗略地描述总体
X地分布。
一、频率分布表
1、设总体X是离散型随机变量，x1,x2,Lxn是样本X1,X2,LXn地一组样本值。
X1,X2,LXn取到的值为a1,a2,Lam，且取到a1,a2,Lam的个数分别为v1,v2,Lvm，
（1）频数：ai出现的次数?i； （2）频率：fi??in，其中，n?v1?v2?L?vm，即n个数据中，取到ai值的频率、比例；
（3）频率分布表：可近似地反映（代替）总体X的分布律
X?ai a1 a2 L am P f1 f2 L fm
二、直方图
当总体X是连续型随机变量时，可采用直方图来处理样本值。 1、 方法：
***（1）将样本值x1,x2,Lxn从小到大排列，x1,x2,Lxn?样本值落入区间
?a,b???x小数。
*1,xn*?，a略小于x1*，比x1*通常多一位小数；b略小于xn*，比xn*通常多一位
（2）将n个样本值的各个不同取值所在的区间a,b??m?1?等分
?m?1?等分，使am的值落入分割的小区间中，a?t0?t1?t2?L?tm?tm?1?b，每一小区间长度：ti?1?ti??b?a,?i?0,1,Lm? m?1m 大小，通常与样本容量对应，
（3）依次数出样本值落在区间ti,ti?1?中的个数?i，?i?0,1,Lm?
?fi??in——为样本值落入区间ti,ti?1?中的频率；
?（4）画出（频率）直方图：每个直方条：宽ti,ti?1?，长
?fi
ti?1?tifi?fi??ti?1?ti??S小矩形?P?ti?x?ti?1?
ti?1?ti（5） 相应密度函数的大致曲线：光滑连接每条长方形上边中点。 三、样本分布函数
由样本的分布函数，推断（近似得出）总体X的分布函数。
***作法：将一组来自总体X的样本值x1,x2,Lxn，从小到大排列x1?x2?L?xn
?0,x?x1*???1,x*?x?x*2?n1??? Fn?x???2,x2*?x?x3*，Fn?x?――称样本分布函数通常n越大，近似程度越好。
?n?M?*?1,x?xn??§3常用统计量的分布
四种常用的统计量及其分布 一、X的分布
1、定理：设X1,X2,LXn是取自正态总体X的样本。X~N??,??，则有：样本均值
2??2?X??~N?0,1? X~N??,?， ??n??n样本X1,X2,LXn独立与X同分布，E?Xi???,D?Xi???2,
?X?1?X1?X2?LXn?也服从正态分布， n11?EX?E?X1?X2?LXn???n???，
nn11DX?2D?X1?X2?LXn??2?n?2??2
nn????例1、设总体X~N?12,4?，抽取容量为16的样本。求样本平均值X的分布及PX?13 解：X~N?12,4?，n?16 （1）X~N?,?（2）
???21?12,??N???，即X服从参数??12,?4??2?1的正态分布； 4???13?12?PX?13?1?PX?13?1?F?13??1????1???2??1?0.9772?0.02281????2?????二、?－分布
1、定义：若随机变量X1,X2,LXn相互独立，都服从同分布，Xi~N?0,1?，则称随机变
222222量X?X1?X2?L?Xn??服从自由度n的?分布，记：X~?(n)
2（1）X~?(n)，X的密度函数图形
2?2－分布的密度曲线是个对称的，其形状与自由度n有关，随自由度n的增大而渐趋于对
称。
（2）?－分布：已知自由度n，给定正数???0,1?，
2由?分布表?临界值???PX???2?? 例2、设随机变量X~?(20)，求下列情况下的k （1）P?X?k??0.05，
解：n?20,??0.05，查表：P?X?31.41??0.05,?k?31.41——即临界值??
222??22、 定理：设X1,X2,LXn是取自总体X的样本，X~N??,??，则样本均值X和样本
2
(抽样检验)统计量与抽样分布
