函数的基本性质——单调性与最大(小)值
【教学目标】
1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思
2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间
3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性
【教学重难点】
教学重点：函数的单调性的概念。
教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性
【教学过程】
一、复习引入。
1．复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数y?x和y?x的图象。y?x的图象如图1，y?x3的图象如图2．
2．引入：从函数y?x2的图象（图1）看到：
图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+?）上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大，即如果取x1,x2∈[0，+?），得到y1=f(x1)，y2=f(x2)，那么当
x1＜x2时，有y1＜y2。
y图1x图2yyy?x2y?x3232x这时我们就说函数y=f(x)=x2在[0，+?）上是增函数。图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（－?，0）上取值时，随着x的增0）大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1,x2∈（－?，，得到y1=f(x1)，
y2=f(x2)，那么当x1＜x2时，有y1>y2。
f(x)f(x1)x1f(x2)x2图3x 1 / 6
这时我们就说函数y=f(x)=x2在（－?，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。
1．增函数与减函数。
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
x1,x2，（1）若当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则说f(x)在这个区间上是
yf(x)f(x1)x1f(x2)x2x图4增函数（如图3）；（2）若当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，则说f(x)在这个区间上是减函数（如图4）。
说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数y?x（图1），当x∈[0，+?）时是增
2函数，当x∈（－?，0）时是减函数。
2．单调性与单调区间。
若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；
（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位 置上，虽然使得f(x1)>f(x2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；（3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)＜f(x2)或f(x1)>f(x2)，”改为“f(x1)?f(x2)或f(x1)yf(x)f(x1)x1f(x2)x2x图5?f(x2)，”即可；
（4）定义的内涵与外延：
内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；
外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。
②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。
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例1：如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数
y?f(x)的图象，根据图象说出y?f(x)的单调区间，以
y及在每一单调区间上，函数y?f(x)是增函数还是减函数。
解：函数y?f(x)的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]，其中y?f(x)在区间[－5，－2），[1，3）上是减函数，在区间[－2，1），[3，5]上是增函数。
说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
例2：证明函数f(x)?3x?2在R上是增函数。 证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)=（3x1+2）－（3x2+2）=3（x1－x2），
-5-2O135x由x1＜x2x，得x1－x2＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)。 ∴f(x)?3x?2在R上是增函数。 例3：证明函数f(x)?1在（0，+?）上是减函数。 x证明：设x1，x2是（0，+?）上的任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)=
11x2?x1－=， x1x2x1x2由x1，x2∈（0，+?），得x1x2>0，
又由x1＜x2，得x2－x1>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2) ∴f(x)?1在（0，+?）上是减函数。 xf(x)?x2?2ax?3在（－2，2）内的单调性。
例4．讨论函数解：∵
f(x)?x2?2ax?3?(x-a)2?3?a2，对称轴
x?a
∴若a??2，则若?2?a?2则若a?2，则四、练习。
f(x)?x2?2ax?3在（－2，2）内是增函数；
f(x)?x2?2ax?3在（－2，a）内是减函数，在[a，2]内是增函数
f(x)?x2?2ax?3在（－2，2）内是减函数。
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函数的基本性质——单调性与最大(小)值
