随机过程知识点(word版可编辑修改)
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第一章：预备知识
§1。1 概率空间
随机试验，样本空间记为Ω。
定义1。1 设Ω是一个集合，F是Ω的某些子集组成的集合族。如果 （1）??F； （2)若A?F ，则A??\\A?F；
（3）若An?F ，n?1，2，?，则?An?F；
n?1?则称F为??代数(Borel域）。(?,F)称为可测空间,F中的元素称为事件. 由定义易知：
(4)??F；（5)若A,B?F,则A\\B?F；（6）若Ai?F，i?1，2，?则?Ai，?Ai，?Ai?F.i?1i?1i?1nn?
定义1.2 设(?,F)是可测空间，P（·)是定义在F上的实值函数。如果 (1)任意A?F,0?P?A??1；（2）P????1；（3）对两两互不相容事件A1,A2,??当i?j时，Ai?Aj???,有????P???Ai????P?Ai??i?1?i?1
则称P是??,F?上的概率,（?，F，P）称为概率空间,P（A）为事件A的概率。
定义1。3 设（?，F，P）是概率空间，G?F，如果对任意A1,A2,?,An?G，n?1,2,?n?n?有： P???Ai????P?Ai?,
?i?1?i?1则称G为独立事件族。
§1。2 随机变量及其分布
随机变量X，分布函数F(x),n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，?Xt,t?T?是独立的。
§1。3随机变量的数字特征
定义1.7 设随机变量X的分布函数为F(x)，若?|x|dF(x)??，则称
???E(X)＝?xdF(x)
???为X的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。 方差，BXY?E??X?EX??Y?EY??为X、Y的协方差，而
BXY ?XY?
DXDY为X、Y的相关系数。若?XY?0,则称X、Y不相关。
(Schwarz不等式）若EX2??,EY2??,则
2 ?EXY??EX2EY2.
§ 1.4 特征函数、母函数和拉氏变换
定义1. 10 设随机变量的分布函数为F（x)，称
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g(t)E(ejtX)??ejtxdF?x?,??????t??
为X的特征函数
随机变量的特征函数具有下列性质： (1)g(0)?1,g(t)?1,g(?t)?g(t)1
（ 2 ） g （t)在???,?? 上一致连续。(3）g(k)(0)?ikE(Xk)
（4)若X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量，则X?X1?X2??Xn的特征函数g(t)?g1(t)g2(t)gn(t)，其中gi(t)是随机变量Xi的特征函数，i?1,2,,n.
定义1 。 11 设 X?(X1,X2,,Xn)是n维随机变量，t = (t1,t2,,tn） ?R, 则称
g(t)?g(t1,t2,,tn)?E(eitX?)?E[exp(i?tkXk)]，
k?1n为X的特征函数。
定义1.12 设X是非负整数值随机变量，分布列
pk?P?X?xk?,k?1,2,?
则称
P(s)?E(s)＝?Pksk
Xk?0def?为X的母函数.
§ 1.5 n维正态分布
定义1.13 若n维随机变量X?(X1,X2,?,Xn)的联合概率密度为
11?1Tf(x)?f(x1,x2,?,xn)?exp{?(x?a)B(x?a)} n/2n/22(2?)B 式中，a?(a1,a2,?,an)是常向量，B?(bij)n?n是正定矩阵，则称X为n维正态随机变量或服从n维正态分布，记作X~N(a,B).
可以证明，若X~N(a,B)，则X的特征函数为
1g(t)?g(t1,t2,?,tn)?exp{iat??iBt?}
2 为了应用的方便，下面,我们不加证明地给出常用的几个结论。 性质1 若X~N(a,B)则E(Xk)?ak,BXkXl?bkl,l?1,2,?,n。
性质2 设X~N(a,B)，Y?XA，若A?BA正定，则Y~N(aA,A?BA)。即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。
性质3 设X?(X1,X2,X3,X4)是四维正态随机变量,E(Xk)?0,k?1,2,3,4，则
E(X1X2X3X4)?E(X1X2)E(X3X4)?E(X1X3)E(X2X4)?E(X1X4)E(X2X3)
§ 1。6 条件期望
给定Y=y时，X的条件期望定义为
E(X|Y?y)??xdF(x|y)??xf(x|y)dx
由此可见除了概率是关于事件｛Y=y｝的条件概率以外，现在的定义与无条件的情况完全一样。 E（X|Y=y）是y的函数，y是Y的一个可能值。若在已知Y的条件下，全面地考虑X的均值，需要以Y代替y,E（X|Y)是随机变量Y的函数，也是随机变量,称为 X在 Y下的条件期望. 条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一个极其有用的性质。
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