专题24 解三角形中的最值、范围问题
解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意a?c,ac,a?c三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：
22abc???2R，其中R为ABC外接圆的半径 sinAsinBsinC正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）sinA?sinB?sinAsinB?sinC?a?b?ab?c （2）bcosC?ccosB?a?sinBcosC?sinCcosB?sinA（恒等式） （3）
222222bcsinBsinC ?22asinA2222、余弦定理：a?b?c?2bccosA
变式：a??b?c??2bc?1?cosA? 此公式在已知a,A的情况下，配合均值不等式可得到b?c和bc的
22最值
4、三角形中的不等关系
（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
a?b?A?B?sinA?sinB?cosA?cosB
其中由A?B?cosA?cosB利用的是余弦函数单调性，而A?B?sinA?sinB仅在一个三角形内有效.
5、解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值
【经典例题】
1
例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形设
与
面积分别为
，则
的最大值为_____.【答案】
，求出
中，，
【解析】分析：利用余弦定理推的范围，求
的最大值即可．
的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值
点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得． 例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在为
【解析】 由 得
，所以
中，角A,B,C所对的边分别
.
，则实数a的取值范围是____________.【答案】
，
，
则由余弦定理，
得，解得，又， 所以的范围是.
例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式
恒成立，则
的最大值为_____．【答案】2
例4.【衡水金卷信息卷三】已知
的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足
2
，且
的外接圆的面积为，则的最大值的取值
范围为__________．【答案】
【解析】由
的三边分别为，，可得：
，
可知：，
，，
例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知
中，角
所对的边分别是
,且
.
(1)求角的大小； (2)设向量，边长
，当
取最大值时，求边的长. 【答案】(1)
(2)
.
【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得
，由此可求角的大小； （2）因为
由此可求当取最大值时，求边的长.
3
（2）因为所以当
时，
取最大值，此时，
由正弦定理得，
的内角
的对边分别为
其
例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知面积为,且
（Ⅰ）求角；（II）若【答案】(Ⅰ)
.(Ⅱ)
.
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,当
有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.
【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简这个三角方程即得A的值. （II）先根据范围
详解：(Ⅰ)由己知
得到,再解
有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值
，再写出S的函数表达式求其最大值.
(Ⅱ)由己知，当
当
时，
有且只有一解时，为直角三角形，
或
,所以
；
当 时，由正弦定理 ，
，
所以，当时，综上所述，.
例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
?a?b??sinA?sinB? ?c?sinC?sinB?．
22（1）求A．（2）若a?4，求b?c的取值范围．【答案】（1）A??3；（2）?16,32. ? 4
b2?c2?16?bc?16，进而可得结果.
试题解析：（1）根据正弦定理得?a?b??a?b? ?c?c?b?，即a2?b2?c2?bc，
b2?c2?a211?，即cosA?，由于0?A?π， 则
2bc22
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知m??3cos??xx?xx??,cos?， n??sin,cos?，设函数
44?44??f?x??m?n．
（1）求函数f?x?的单调增区间；
（2）设?ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，且a， b， c成等比数列，求f?B?的取值范围． 【答案】(1) ?4k?????4?2??3?1?,4k??， ．(2) 1,k?Z??. ??33?2????xx??xx??x??1,cos???sin,cos??sin????，根据44??44??26?2【解析】试题分析：（1）由题f?x??m?n??3cos正弦函数的性质2k???2?x????2k??可求其单调增区间； 262 5
专题24 解三角形中的最值、范围问题（解析版）
