人教A版 高中数学 选修2-1 椭圆 知识点+讲测练
知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点动点
到两个定点
、
的距离之和等于常数(
),这个
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
,则动点,则动点
的轨迹为线段的轨迹无图形.
;
注意:若 若
知识点二:椭圆的标准方程
1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程: 2.当焦点在
轴上时,椭圆的标准方程:
,其中,其中
; ;
注意:
1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有
和
;
,
;当焦点在
轴
3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为上时,椭圆的焦点坐标为
,
。
知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆对称性: 于椭圆标准方程不变,所以椭圆
的的简单几何性质
(1) 对
,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,方程都是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对
称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。 (3)顶点:
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆
(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的
四个顶点,坐标分别为A1(―a,0),A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。
③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
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(4)离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作
。
②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而
越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近
222
于圆。当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x+y=a。 注意:椭圆
的图像中线段的几何特征(如下图):
(1)(2)(3)
,,
,
,
,; ;
,
;
知识点四:椭圆与(a>b>0)的区别和联系
标准方程 图形 焦点 焦距 范围 性质 对称性 顶点 轴 离心率 , , , 关于x轴、y轴和原点对称 , , 长轴长=,短轴长= , 第 2 页 共 16 页
准线方程 焦半径 注意:椭圆>b>0和
,
, , (a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有a
,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。
1. 如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a、b,一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中,a、b、c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的,分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:a>b>0,a>c>0,且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆:
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。 3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x2、y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程Ax2+By2=C(A、B、C均不为零)表示椭圆的条件
方程Ax2+By2=C可化为,即,
所以只有A、B、C同号,且A≠B时,方程表示椭圆。 当
时,椭圆的焦点在x轴上; 当
时,椭圆的焦点在y轴上。
5.求椭圆标准方程的常用方法:
①待定系数法:由题目条件确定焦点的位置,从而确定方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方
程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
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人教A版 高中数学 选修2-1 椭圆 知识点+讲测练(含答案解析)
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