人教A版 高中数学 选修2-1 椭圆 知识点+讲测练
知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点动点
到两个定点
、
的距离之和等于常数(
)，这个
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
，则动点，则动点
的轨迹为线段的轨迹无图形.
；
注意：若 若
知识点二：椭圆的标准方程
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： 2.当焦点在
轴上时，椭圆的标准方程：
，其中，其中
； ；
注意：
1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2.在椭圆的两种标准方程中，都有
和
；
，
；当焦点在
轴
3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为上时，椭圆的焦点坐标为
，
。
知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆对称性： 于椭圆标准方程不变，所以椭圆
的的简单几何性质
（1） 对
，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对
称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 （3）顶点：
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆
（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的
四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
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（4）离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作
。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而
越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近
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于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x+y=a。 注意：椭圆
的图像中线段的几何特征（如下图）：
（1）（2）（3）
，，
,
，
，； ；
，
；
知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系
标准方程 图形 焦点 焦距 范围 性质 对称性 顶点 轴 离心率 ， ， ， 关于x轴、y轴和原点对称 ， ， 长轴长=，短轴长= ， 第 2 页 共 16 页
准线方程 焦半径 注意：椭圆＞b＞0和
，
， ， （a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a
，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
1. 如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B、C同号，且A≠B时，方程表示椭圆。 当
时，椭圆的焦点在x轴上； 当
时，椭圆的焦点在y轴上。
5.求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方
程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
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人教A版 高中数学 选修2-1 椭圆 知识点+讲测练(含答案解析)
