2024-2024年高一数学1.8 充分条件与必要条件（2）教案 教学目的：
1 ?使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；
2 ?在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解 决数学问题打下良好的逻辑基础
?
教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断 教学难点：充分性与必要性的推导顺序 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
这一节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习 充要条件的有关知识. 重点是充要条件.
关于充分条件、必要条件与充要条件，
还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜. 教学过程： 一、 复习引入：
1. 什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？
若pq （或若「q「p）,则说p是q的充分条件，q是p的必要条件? 2. 指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： ⑴p： x>2 , q: x>1 :⑵ p： x>1,q : x>2 ;
2 2 ⑶p： x>0 ,y>0 , q: x+y<0:⑷ p： x=0, y=0, q： x +y =0. 解：⑴T x>2x>1，二p是q的充分条件，q是p的必要条件?
⑵T x>1x>2，但x>2x>1，二p是q的必要条件，q是p的充分条件.
⑶T x>0 ,y>0x+y<0 , x+y<0x>0 ,y>0，二p不是q的充分条件，p也不是 q的必
要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.
⑷T x=0,y=0x2+y2=0, p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0, y=0 ,「? q是p的充分条件，p是q的必要条件.
3?在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统 说，p
是q的充分必要条件，简称 充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概 念. 二、 讲解新课：
1?什么是充要条件？
如果既有pq,又有qp,就记作pq.此时，p既是q的充分条件，p又是q 的必要条件，我们就说，
p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也
可以说q是p的充要条件）
例如，“x=0, y=0”是\x2+y2=0”的充要条件；\三角形的三条边相等”是 “三角形的三个角相等”的充要条件 .
说明：⑴符号“”叫做等价符号?“pq”表示“ pq且pq”；也表示“ p等价 于q” .
“pq”有时也用“ pq”；
⑵“ 充要条件 ”有时还可以改用“ 当且仅当 ”来表示，其中“当”表示“充 分”，“仅当”表示“必要” .
2?几个相关的概念
若pq,但pq,则说p是q的充分而不必要条件; 若pq,但pq,则说p是q的必要而不充分条件； 若pq,且pq,则说p是q的既不充分也不必要条件?
例如，“ x>2”是“ x>1 ”的充分而不必要的条件； “x>1”是“ x>2”的必要 而不充分的条件；“x>0 ,y>0 ”是“ x+y<0 ”的既不充分也不必要的条件
3?充要条件的判断方法
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判 断时应该：
⑴确定条件是什么，结论是什么；
⑵尝试从条件推出结论, 从结论推出条件 (方法有： 直接证法或间接证法) ； ⑶确定条件是结论的什么条件 ?
4.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？ 答：有两种说法：⑴若 AB则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若 A=B,则A是B的充要条件(此时 B也是A的充要条件)?
在含有变量的命题中,凡能使命题为真的变量 x 的允许值集合,叫做此命 题的真值集合 ?
⑵若pq,说明p的真值集合q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件；若pq,说明p, q的真值集合相等，即 p, q等价，则p是q充要 条件(此时 q 也是 p 的充要条件) ? 三、范例
例(P35例2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条 件”、“必要而不充分条件” 、“充要条件” 、“既不充分也不 必要条件”中选出一种)？
⑴p： (x-2)(x-3)=0
； q： x-2=0.
⑵p：同位角相等；q :两直线平行.⑶p： x=3； q : X2=9. ⑷p：四边形的对角线相等； q：四边形是平行四边形. 解：⑴??? (x-2)(x-3)=0x-2=0
, (x-2)(x-3)=0x-2=0
,
??? p是q的必要而不充分的条件；
⑵???同位角相等两直线平行，??? p是q的充要条件；
22
⑶T x=3x =9, x=3x =9,「. p是q的充分而不必要的条件；
⑷???四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四 边形是
平行四边形，
??? p是q的既不充分也不必要的条件 .
四、 练习：1习题：3.⑴假；⑵假；⑶假；⑷真.
课本P36练习：1，2； P36-38习题：3. 答案：练习：1.⑴；⑵；⑶；⑷.
2. ⑴充分而不必要的条件；⑵充分而不必要的条件； ⑶充要条件；⑷必要而不充分的条件
五、 小结： 六、 作业：
(一) 复习：课本P34-36内容，进一步熟悉和巩固有关概念和方法 (二) 书面：课本 P36-37习题1.8 : 1，2. 答案：1.⑴ p： x>0, y>0; q: x+y>0.
(T)
⑵ p: x>3 ； q: x>5. (T)
2 2
⑶p：判别式 b -4ac0 ； q：方程 ax+bx+c=O(aO)有实根.(T) ⑷p: x>y ； q： x2>y2. ( ■/ )
2.⑴充分而不必要的条件；⑵必要而不充分的条件； ⑶必要而不充分的条件；⑷充要条件； ⑸必要而不充分的条件；⑹必要而不充分的条件
(三) 思考题：试寻求关于 x的方程x2+mx+ n=0有两个小于1的正根的
一个充要条件.(练习册P15探索题2)
解法1:关于x的方程x2+mx+ n=0有两个小于1的正根方程在(0 , 1)内有
m
实根
f(0)>0 /(1) >0
0 ：： n ：： 1
解法2:
.：-0
x^i +x2 AO x1x^> 0
方程在(0 , 1)内有实根
m2 -4n _ 0
一 2 ：
(X1 -1)+(X2 -1)>0 !
(兀 -1)区-1)
m ：： 0
0
.：-0
< 2
m — 4n ZO 2
七、 板书设计（略） 八、 课后记：
2024-2024年高一数学2.1函数（第一课时） ?课时安排 2课时 从容说课
函数是中学数学中最重要的基本概念之一， 函数的本质：由定义域、值域、
大纲人教版必修 高中对函数内容的学习是初中函数知识的深
化和延伸，本节中，在学习集合的基础上，用集合对应的语言对函数重新加以定义，从根本 上揭示了
对应法则三要素构成的整体， 从而使学生认识到初
通过对抽象
中变量观点F定义的限制和重新认识函数的必要性。
本节通过训练求不同函数的定义域， 使学生认识到函数的定义域的重要性，
符号f（x）［即x在法则f下对应f（x）］的理解和使用，使学生认识到符号f（x）本身就是三要 素构成的整体，通过判断两个函数是否相同， 进一步体现三要素整体的作用， 本节中映射的 学习，是对函数的推广，也是为了帮助学生进一步深刻理解函数的定义。
第一课时
?课题
§ 2.1.1 函数（一） ?教学目标 （一） 教学知识点 1. 函数的概念.
2. 区间、无穷大的概念、记号 . 3. 函数的定义域. （二） 能力训练要求
1. 使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素 2. 使学生能够正确使用“区间” “无穷大”等记号. 3. 使学生学会求某些函数的定义域 . （三） 德育渗透目标
使学生理解静与动的辩证关系 . ?教学重点 1. 函数的概念. 2. 函数定义域的求法. ?教学难点 函数概念的理解. ?教学方法 讲授法.
概念的教学是非常重要的， 尤其是学生刚接触一种新的概念， 过师生的共同讨论， 帮助学生深刻理解变得更为重要， 深刻的烙印，否则后面的学习将会产生困难
?教具准备 幻灯片四张
第一张：课本 P46问题一、问题二（记作§ 2.1.1 A） 第二张：课本 P46图2—1（记作§ 2.1.1 B） 第三张：课本P48上方的表格（记作§ 2.1.1 C） 第四张：本课时教案后面的预习内容及提纲
教师给学生讲清楚， 并通
要在学生的思想上， 知识结构中打上
（记作§ 2.1.1 D）
2024-2024年高一数学2.1函数（第一课时） ?教学过程
大纲人教版必修
I. 课题导入
［师］在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？
(几位学生试着表述， 之后，教师将学生的回答梳理， 再表述或者启示学生将表述补充 完整再条理表述)?
设在一个变化的过程中有两个变量
x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与
它对应，那么就说 y是x的函数，x叫做自变量?
［师］我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数， 二次函数，请同学们思考下面两个问题：
(打出幻灯片§ 2.1.1A) 问题一：y=1(x� R)是函数吗？ 问题二：y=x与y=是同一个函数吗？ (学生思考，很难回答)
［师］显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数 概念(板书课题)?
n .讲授新课
［师］下面我们先看两个非空集合 A、B的元素之间的一些对应关系的例子 (打出幻灯片§ 2.1.1B )
为简明起见，这里的 A B都是有限集合?
在图2— 1 (1)中，对应关系是“乘 2”，即对于集合 A中的每一个数n,集合B中都有 一个数2n和它对应?
在图2— 1 ( 2)中，对应关系是“求平方”，即对于集合A中的每一个数 m集合B中都 有一个平方数m和它对应?
在图2— 1 ( 3)中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都 有一个数和它对应?
请同学们观察图2— 1中的3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？ ［生］一对一、二对一、一对一 ? ［师］这3个对应的共同特点是什么呢？
［生甲］对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系.集合B中都有惟一的数和它对 应?
［师］生甲回答的很好，不但找到了 3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事 实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的 实际上，函数就是从自变量 x的集合到函数值y的集合的一种对应关系?
现在我们把函数的概念进一步叙述如下：
(板书)
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 记作：y=f (x) , x� A
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与 x的值相对应的y［或f(x)］值 叫做函数值，函数值的集合 {y|y=f(x), x� A叫函数的值域?
一次函数f(x)=ax+b(a^0)的定义域是 R,值域也是 R对于R中的任意一个数 x,在R 中都有一个数
?这是不能忽略的?
?
f,使对于集合 A中的任意一个数
x,在集合B中都有惟一确定的数 f (x)和它对应，那么就称f : A-B为从集合A到集合B的 一个函数.
f(x)=ax+b(a^ 0)和它对应?
反比例函数f(x)= ( kz 0)的定义域是 A={x|x丰0}，值域是B={f(x)| f(x)丰0}，对于A 中的任意一个实数 x,在B中都有一个实数f(x)= ( kz 0)和它对应?
2
二次函数f (x)=ax+bx+c ( az 0)的定义域是R,值域是当a> 0时B={f (x)| f(x) >}；当
a< 0时，B={f(x)|f(x) <}，它使得 R中的任意一个数 x与B中的数f (x)=ax2+bx+c(
0)
对应.
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题
y=1( x � R是函数，因为对于实数集 R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1 ”， 在
R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说 y是x的函数.
y=x与y=不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，
的定义域是{X|XM 0}.所以y=x与丫=不是同一个函数.
［师］理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
但y=x的定义域是R,而y=
(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结) 注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应；
② 符号“ f ： B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系， 三者缺一不可?
③ 集合A中数的任意性，集合 B中数的惟一性?
④ f表示对应关系，在不同的函数中， f的具体含义不一样? ⑤ f(x)是一个符号，绝对不能理解为 号来表示
［师］研究函数常用到区间的概念 ? 设a,b是两个实数，且 a< b,我们规定： (打出幻灯片§ 2.1.1C)
对照图表逐一解释：课本 P47下方①②③的内容?指出实数a, b都叫做相应区间的端点， 在数轴上，这些区间都可以用一条以 a和b为端点的线段来表示， 在图中用实心点表示包括 在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点 实数值R也可以用区间表示为(-R,+ R)，“R”读作“无穷大”, “- 读作“负无 穷大”，“ +8”读作“正无穷大”，我们还可以把满足 x >a, x > a, x< b, x< b的实数x的集合 分别表示为［a,+ ］,( a,+ ),(- m, b］,(- 8, b)?
川.例题分析
［例1］求下列函数的定义域? (1) f(x)= (2) f(x)= (3) f(x)=
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定 解：(1) x-2丰0,即卩x丰2时，有意义， ???这个函数的定义域是{x| x工2}
(2) 3 x+ 2>0,即x>-时有意义，?函数y=的定义域是［—,+m ) (3)
?如果只给出解析式 y = f(x)，而没有
f与x的乘积?
g(x)、F (x)、G(x)等符
［师］在研究函数时，除用符号 f(x)表示函数外，还常用
指明它的定义域?那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 x的集合?
?这个函数的定义域是 {x| x >— 1} n {x | XM 2} = ［ — 1, 2 )U( 2,+m) ?
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间 从上例可以看出，当确定用解析式 况：
(1) 如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集
R;
(2) 如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3) 如果f ( x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集 合;
y= f (x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情
(4) 如果f ( x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都 有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集
(5) 如果f(x)是由实际问题列出的， 际意义的实数的集合.
例如：一矩形的宽为 x m,长是宽的2倍，其面积为y= 2x2,此函数定义域为 x> 0而 不是全体实数.
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定 ［师］自变量x在定义域中任取一个确定的值
例如，函数f (X)=X2+3X+1,当x=2时的函数值是f(2)=22+3? 2+1=11
.
)；
那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实
a时，对应的函数值用符号 f (a)来表示.
IV .课堂练习
课本Psi练习1
, 2, 4
V .课时小结
本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念) 容可由学生自己来归纳)
、区间的概念及求函数定义
.(本小结的内
域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视
W .课后作业
(一) 课本 P51，习题 2.1 1
, 2, 6, 7.
(二) 1.预习内容：课本P49例2、例3及映射的概念 2. 预习提纲：
(1) 怎样求函数式的值？ (2) 怎样判定两个函数是否相同？ (3) 映射的概念是怎样的？ (4) 映射有几个要素？各是什么？ (5) 象与原象的概念？
(6) 函数与映射之间有哪些异同点？ ?板书设计
第二章 函数 一 函 数 § 2.1.1 函数(一)
定义 注意：(1) (2)
(3) (4) (5)
区间的概念 例
练习
小结
2024-2024年高一数学1.8充分条件与必要条件(2)教案
