2．C2 、C6[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 2．C [解析] 因为sin 2α＝
2sin αcos α2tan α＝>0，所以选C. 222
sinα＋cosα1＋tanαπ??17．C4、C5、C6、C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin?3x＋?. 4??
(1)求f(x)的单调递增区间；
π??α?4?(2)若α是第二象限角，f??＝cos?α＋?cos 2α，求cos α－sin α的值． 4??3?5?
π?π?17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z， 2?2?
ππππ2kππ2kπ由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，
24243123
?π2kπ，π＋2kπ?，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为?－＋3123??4?
π?4?π??22
(2)由已知，得sin?α＋?＝cos?α＋?(cosα－sinα)．
4?5?4??
ππ
所以sin αcos＋cos αsin＝
44ππ4?22
cos αcos－sin αsin?(cosα－sinα)， ??44?5?
42
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)(sin α＋cos α)．
5
3π
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.
4此时，cos α－sin α＝－2.
52
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)＝.
4
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－综上所述，cos α－sin α＝－2或－
C7 三角函数的求值、化简与证明
5. 2
5. 2
?π??5π?32.
16．C5、C7[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin?x＋?，x∈R，且f??＝
3???12?2
(1)求A的值；
?π??π?(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈?0，?，求f?－θ?.
2???6?
18．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
ππ
f(t)＝10－3cost－sint，t∈[0，24)．
1212
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
2π2π?π??π?18．解：(1)f(8)＝10－3cos?×8?－sin?×8?＝10－3cos－sin＝10－333?12??12?
3?1?×?－?－＝10.
?2?2
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
?3π1π??ππ?(2)因为f(t)＝10－2?cost＋sint?＝10－2sin?t＋?，
3??1212212??2
又0≤t<24，
πππ7π?ππ?所以≤t＋<，所以－1≤sin?t＋?≤1.
3?31233?12
?ππ?当t＝2时，sin?t＋?＝1；
3??12
?ππ?当t＝14时，sin?t＋?＝－1.
3??12
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．C3、C7[2014·江苏卷] 已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的π
图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
3
5.
ππ?π?1解得2π＋φ＝π [解析] 将x＝分别代入两个函数，得到sin?2×＋φ?＝，
36336??2
25πππ
＋2kπ(k∈Z)或π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，化简解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋
3626π
2kπ(k∈Z)．又φ∈[0，π)，故φ＝. 6
5?π?15．C7[2014·江苏卷] 已知α∈?，π?，sin α＝. 5?2?
?π?(1)求sin?＋α?的值；
?4?
(2)求cos?
?5π－2α?的值．
?
?6?
5?π?15．解： (1)因为α∈?，π?，sin α＝，
5?2?2 52所以cos α＝－1－sinα＝－.
5故sin?
?π＋α?＝sinπcos α＋cosπsin α＝
?44?4?
2?2 5?2510×?－＋×＝－. ?2?5105?2(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×4?2 5??－?＝－5，
5??
5
× 5
?5?23
cos 2α＝1－2sinα＝1－2×??＝，
?5?55π5π?5π?所以cos?－2α?＝coscos 2α＋sinsin 2α＝ 66?6?
2
4＋3 33?31?4??
?－?×5＋2×?－5?＝－10.
???2?
?π?2
16．C5、C7[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cosx)cos(2x＋θ)为奇函数，且f??
?4?
＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
π?2?α??π??(2)若f??＝－，α∈?，π?，求sin?α＋?的值． 3?5?4??2??
22
16．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cosx)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cosx为偶函数，
π
所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝，
2
2
所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cosx)．
?π?由f??＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1. ?4?
1
(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x.
2
12?α?因为f??＝－sin α＝－， 25?4?4?π?所以sin α＝，又α∈?，π?， 5?2?3
从而cos α＝－，
5π?ππ4－3 3?所以有sin?α＋?＝sin αcos＋cos αsin＝. 3?3310?
17．C7、C8[2014·辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞
1→→
c.已知BA·BC＝2，cos B＝，b＝3.求：
3
(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．
→→
17．解：(1)由BA·BC＝2，得c·acos B＝2，
1
又cos B＝，所以ac＝6.
3
222
由余弦定理，得a＋c＝b＋2accos B，
22
又b＝3，所以a＋c＝9＋2×2＝13.
?ac＝6，?a＝2，??a＝3，??
??联立?2得或 2
???a＋c＝13，c＝3c＝2.???因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝1－cosB＝
2
?1?22. 1－??＝3?3?
2
c22242
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
b339
因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sinC＝
2
?42?27
1－??＝. ?9?9
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝ 172 24 223×＋×＝. 393927
21．C7、B14[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝π(x－cos x)－2sin x－2，g(x)＝(x－1－sin x2xπ)＋－1.证明：
1＋sin xπ
?π?(1)存在唯一x0∈?0，?，使f(x0)＝0；
2??π??(2)存在唯一x1∈?，π?，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π. ?2?
?π?21．证明：(1)当x∈?0，?时，f′(x)＝π＋πsin x－2cos x＞0，所以f(x)在区间
2??
2
?0，π?上为增函数．又f(0)＝－π－2＜0，f?π?＝π－4＞0，所以存在唯一x∈?0，π?，??2?20?2?2???????使f(x0)＝0.
cos x2x?π?(2)当x∈?，π?时，化简得g(x)＝(π－x)·＋－1. 1＋sin xπ?2?
?π?令t＝π－x则t∈?0，?.记u(t)＝g(π－t)＝
2??
tcos t2f（t）－－t＋1，则u′(t)＝. 1＋sin tππ（1＋sin t）
π?π???由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0；当t∈?x0，?时，u′(t)＞0.所以在?x0，?2?2???
π?π??π???上u(t)为增函数，由u??＝0知，当t∈?x0，?时，u(t)＜0，所以u(t)在?x0，?上无2?2??2???
零点．
在(0，x0)上u(t)为减函数，
由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.
?π?于是存在唯一t0∈?0，?，使u(t0)＝0.
2???π?设x1＝π－t0∈?，π?，则g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0.因此存在唯一的x1∈?2?
?π，π?，使g(x)＝0. ?2?1??
由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.
12．C4，C7[2014·山东卷] 函数y＝12．π [解析] 因为y＝
32
sin 2x＋cosx的最小正周期为________． 2
31＋cos 2xsin 2x＋＝ 22
π?12π?sin?2x＋?＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π . 6?22?
π??17．C4、C5、C6、C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin?3x＋?.
4??
(1)求f(x)的单调递增区间；
π??α?4?(2)若α是第二象限角，f??＝cos?α＋?cos 2α，求cos α－sin α的值． 4??3?5?
π?π?17．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z， 2?2?
ππππ2kππ2kπ由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，
24243123
?π2kπ，π＋2kπ?，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为?－＋3123??4?
π?4?π??22
(2)由已知，得sin?α＋?＝cos?α＋?(cosα－sinα)．
4?5?4??
ππ
所以sin αcos＋cos αsin＝
44ππ4?22
cos αcos－sin αsin?(cosα－sinα)， ??44?5?
42
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)(sin α＋cos α)．
5
3π
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝＋2kπ，k∈Z.
4此时，cos α－sin α＝－2.
52
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)＝.
4
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－综上所述，cos α－sin α＝－2或－
5. 2
5. 2
16．C7[2014·天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a－c6
＝b，sin B＝6sin C. 6
(1)求cos A的值；
π??(2)求cos?2A－?的值． 6??
16．解：(1)在△ABC中，由－c＝
6
b，有a＝2c. 6
＝，及sin B＝6sin C，可得b＝6c.又由asin Bsin Cbcb2＋c2－a26c2＋c2－4c26
所以cos A＝＝＝. 2
2bc426c(2)在△ABC中，由cos A＝2A＝2sin A·cos A＝
15
. 4
61012，可得sin A＝.于是cos 2A＝2cosA－1＝－，sin 444
C单元 三角函数
