数 学
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数
2．C1[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) 43A. B. 5534C．－ D．－ 55
2．D [解析] 根据题意，cos α＝
4
＝－. 22
5（－4）＋3
－4
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
18．C2，C4，C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． (1)求f?
?5π?的值；
??4?
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一：
5π?5π?5π?5π?(1)f??＝2cos?sin＋cos?
44?4??4?ππ?π?
＝－2cos?－sin－cos?＝2.
44?4?(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cosx
＝sin 2x＋cos 2x＋1 π??＝2sin?2x＋?＋1， 4??
2π
所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.
2πππ
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
2423ππ
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88
3ππ??所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
88??方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cosx
＝sin 2x＋cos 2x＋1 π??＝2sin?2x＋?＋1. 4??(1)f?
22
?5π?＝2sin11π＋1 ?4?4?
π
＝2sin＋1
4＝2.
2π
(2)因为T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.
2πππ
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
2423ππ
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88
3ππ??所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.
88??2．C2 、C6[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 2．C [解析] 因为sin 2α＝
2sin αcos α2tan α＝>0，所以选C. 222
sinα＋cosα1＋tanα17．C2，C5，C8[2014·山东卷] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
a＝3，cos A＝
6π，B＝A＋. 32
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积． 17．解：(1)在△ABC中， 由题意知，sin A＝1－cosA＝π
又因为B＝A＋，
2
6?π?所以sin B＝sin?A＋?＝cos A＝. 2?3?
2
3
. 3
由正弦定理可得，b＝asin B＝sin A3×
63
＝32. 33
π3?π?(2)由B＝A＋得cos B＝cos?A＋?＝－sin A＝－.
2?23?由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B ＝
3?663?
×?－?＋× 3?3?33
1＝. 3
11132
因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×32×＝.
2232
C3 三角函数的图象与性质
16．C8、C3[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值．
16．解： 由三角形面积公式，得
12 2×3×1·sin A＝2，故sin A＝. 23因为sinA＋cosA＝1， 所以cos A＝±1－sinA＝±
2
2
2
81
1－＝±. 93
1122222
①当cos A＝时，由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A＝3＋1－2×1×3×＝8，
33所以a＝2 2. 1?1?22222
②当cos A＝－时，由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A＝3＋1－2×1×3×?－?＝
3?3?12，所以a＝2 3.
π
7．C3[2014·福建卷] 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)
2的图像，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π
π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
2
?π?D．y＝f(x)的图像关于点?－，0?对称 ?2?
7．D [解析] 将函数y＝sin x的图像向左平移
π
个单位后，得到函数y＝f(x)＝2
?π?sin?x＋?的图像，即f(x)＝cos x．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小
2???π?正周期为2π，且图像关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，关于点?＋kπ，0?(k∈Z)对称，故选
?2?
D.
图1-2
5．C3、C7[2014·江苏卷] 已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的π
图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
3
5.
ππ?π?1解得2π＋φ＝π [解析] 将x＝分别代入两个函数，得到sin?2×＋φ?＝，
36336??2
25πππ
＋2kπ(k∈Z)或π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，化简解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋
3626π
2kπ(k∈Z)．又φ∈[0，π)，故φ＝. 6
7．C3 C4[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y＝
π?π???cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos?2x＋?，④y＝tan?2x－?中，最小正周期为π6?4???的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
7．A [解析] 函数y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π，①正确；将函数y＝cos x的图像中位于x轴上方的图像不变，位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方，即可得π??到y＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y＝cos?2x＋?的最小6??π?π?正周期为π，③正确；函数y＝tan?2x－?的最小正周期为，④不正确．
4?2?
C4 函数y?Asin(?x??)的图象与性质
8．C4[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线yπ
＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
3
π2π
A. B. C．π D．2π 23
π??8．C [解析] ∵f(x)＝2sin?ωx＋?＝1， 6??
π?1πππ5π?∴sin?ωx＋?＝，∴ωx1＋＝＋2k1π(k1∈Z)或 ωx2＋＝＋2k2π(k2∈Z)，6?26666?
2ππ
则ω(x2－x1)＝＋2(k2－k1)π.又∵相邻交点距离的最小值为，∴ω＝2，∴T＝π.
33
7．C4[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A.C.
ππ B. 843π3π D. 84
π??7．C [解析] 方法一：将f(x)＝2sin?2x＋?的图像向右平移φ个单位，得到y＝
4??π???π?2sin?2x＋－2φ?的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sin?－2φ?＝±1，即
4???4?π?ππkπ3π?sin?2φ－?＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，所以4?4228?
φmin＝3π. 8
ππ??13．C4[2014·重庆卷] 将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，－≤φ＜?图像上每22??
π
一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的
6
?π?图像，则f??＝________． ?6?2
[解析] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，2
ππ
得到y＝sin(2ωx＋φ)的图像，再向右平移个单位长度，得到y＝sin2ωx－＋φ＝
66
ωπωπωπ??＋φ?＋φ?sin?2ωx－的图像．由题意知sin?2ωx－＝sin x，所以2ω＝1，－??333????
ππ1π?1π?＋φ＝2kπ(k∈Z)，又－≤φ≤，所以ω＝，φ＝，所以f(x)＝sin?x＋?，所
6?2226?2
13.π2?π??1ππ?以f??＝sin?×＋?＝sin＝. 42?6??266?
π??16．C4[2014·北京卷] 函数f(x)＝3sin?2x＋?的部分图像如图1-4所示． 6??
图1-4
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； π??π
(2)求f(x)在区间?－，－?上的最大值和最小值．
12??216．解：(1)f(x)的最小正周期为π.
7π
，y0＝3. 6
x0＝
π?π?5π??π
(2)因为x∈?－，－?，所以2x＋∈?－，0?.
12?66??2?π
于是，当2x＋＝0，
6
π
即x＝－时，f(x)取得最大值0；
12ππ
当2x＋＝－，
62
π
即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
3
18．C2，C4，C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． (1)求f?
?5π?的值；
??4?
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
C单元 三角函数
