立体几何中的“内切”与“外接”球专题
立体几何中的“内切”与“外接”球专题
1 球与柱体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图1
所示，正方体ABCD?A1B1C1D1,设正方体的棱长为a，E,F,H,G为
面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。
例 1 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上， E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）A．
2 2棱的中点，O为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形
aEFHG和其内切圆，则OJ?r?；
2 B．1 C．1?2 2 D．2
二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和其外接圆，则
OG?R?2a； 2
1.2 球与长方体
三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACC1A1和其外接圆，则
A1O?R'?3a. 2长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，
通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截
1
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la2?b2?c2.故球的半径R??22
例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任
意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )
例3 正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱
10π
A. B.4π
3
8πC. 3
7πD. 3
的侧面积有最 值，为 .
1.3 球与正棱柱
球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱ABC?A1B1C1的高为h，底面边长为a，如图2所示，D和D1分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高DD1的中点O，OD?,AO?R,AD?3??h???直角三角形AOD的勾股定理，可求R?????a?。 ?23????
2
22
2 球与锥体
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
h23a，借助3立体几何中的“内切”与“外接”球专题
2.1 球与正四面体
正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。 如图4，设正四面体S?ABC的棱长为a，内切球半径为r，外接球的半径为
R，取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的
高。在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即为内切球的截面。
因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O。此时，
CO?OS?R,OE?r,SE?2a,CE?3a,则有R?r?23a，R2?r2?CE2=a2333，解得：R?64a,r?612a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.
例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正
四面体的高的最小值为 ( )
A.
3?263 B. 2+262643?263 C. 4+3 D. 3
球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离
的3倍.]
2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方
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内切球与外接球习题 专题训练
