课时分层作业(二十五) 对数的运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若ab＞0，给出下列四个等式： a
①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg b＝lg a－lg b； 1?a?2a1
??③lg b＝lg ；④lg (ab)＝. 2??blogab10其中一定成立的等式的序号是( ) A．①②③④ C．③④
B．①② D．③
D [∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵aba1?a?21aa
＞0，∴b＞0，2lg ?b?＝2×2lg b＝lg b，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg (ab)＝
??0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.]
2．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A．d＝ac C. c＝ad
B．a＝cd D．d＝a＋c
lg b1
B [由已知，得a＝lg 5，d＝lg 5，所以a＝cd.] ?x?3?y?3
3．若lg x－lg y＝t，则lg ?2?－lg ?2?＝( )
????A．3t C．t
3
B．2t tD．2
xyx?x?3?y?3
A [lg ?2?－lg ?2?＝3lg 2－3lg 2＝3lg y＝3(lg x－lg y)＝3t.]
????
4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中M
普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与N最接近的是( )
- 5 -
(参考数据：lg 3≈0.48) A．1033 C．1073
B．1053 D．1093
M3361
D [由题意，lg N＝lg 1080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－×1＝93.28.
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与M
N最接近的是1093.
故选D.]
5．3lg 2－2lg 3＝( ) A．0 B．lg 2 C．lg 3
D．lg 6
A [令M＝3lg 2，N＝2lg 3， 则lg M＝lg 2lg 3，lg N＝lg 3lg 2， ∴lg M＝lg N，∴M＝N， ∴3lg 2－2lg 3＝M－N＝0.] 二、填空题
6．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示) m＋2n [loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.]
7．计算lg 32－lg 4
lg 2
＋(27)23＝________．
12 [由指数和对数的运算法则，得
lg 32－lg 4lg 32＋(27)233＝4
lg 2
lg 2＋(33)23＝lg 8lg 2＋32
＝lg 2lg 2＋9＝3＋9＝12.]
8．若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则x
y＝________． 4 [因为lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，
- 5 -
80
x＞0，y＞0，??
所以?x－2y＞0，
??xy＝（x－2y）2.
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0， x
所以舍去x＝y，故x＝4y，则y＝4. ] 三、解答题
81
9．求值：lg 500＋lg 5－2lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
1
[解] 原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－2lg 26＋50＝2＋3lg 2－3lg 2＋50＝52. 10．已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645. [解] 法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b， 所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 又因为log2×1818＝
1111
＝＝＝＝
18log18（18×2）1＋log1821＋log181＋1－log1899
1， 2－a
所以原式＝
a＋b2－a
.
法二：∵18b＝5，∴log185＝b.
log18（5×9）log185＋log189log1845
∴log3645＝log36＝＝＝
18log18（4×9）2log182＋log189a＋b
a＋b
a＋b
＝
18
2log189＋log189
＝.
2－2log189＋log1892－a
- 5 -
8
11．已知2x＝9，2y＝3，则x＋2y的值为( ) A．6 B．8 C．1 D．log48 88
A [由2x＝9，得x＝log29，由2y＝3，得y＝log23，
8888
∴x＋2y＝log29＋2log23＝2log23＋2log23＝2(log23＋log23)＝2log2(3× 3)＝2log28＝2×3＝6.]
a
12．lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg (ab)·(lg b)2＝( ) A．2 B．4 C．6 D．8
1B [由已知得，lg a＋lg b＝2，即lg (ab)＝2，lg a·lg b＝2.
a1
所以lg (ab)·(lg b)2＝2(lg a－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a lg b]＝2(22－4× 2)＝2×2＝4.]
11
13．设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m＝( ) A．10 B．10 C．20 D．100
A [a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，所以m＝10.]
14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x lg x 3 2a－b 5 a＋c 8 3－3a－3c 9 4a－2b 15 3a－b＋c＋1 请将错误的一个改正为lg ________＝________． 15 3a－b＋c [由lg 9＝2lg 3，对照表格可知3，9的对数值没错，lg 8＝3lg 2，所以lg 8＝3－3a－3c等价于lg 2＝1－a－c，比较lg 5＝a＋c，由lg 2＋lg 5＝1可知lg 5，lg 8的值没错，而lg 15＝lg 3＋lg 5＝3a－b＋c，所以表格中lg 15错误，应改为：lg 15＝3a－b＋c.]
- 5 -
15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
[解] 原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0(x＞0). 设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0， ∴t1＋t2＝2，t1·t2＝12. 又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根， ∴tlg a，t1
1＝2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝2. ∴lg (ab)·(logab＋logba) ＝(lg a＋lg b)·??lg blg a?lg a＋lg b??? ＝(lg a＋lg b)·（lg b）2＋（lg a）2
lg a·lg b ＝(lg a＋lg b)·（lg a＋lg b）2－2lg a·lg b
lg a·lg b
22
＝2×－2×1
21＝12，
2
即lg (ab)·(logab＋logba )＝12.
- 5 -
2020_2021学年新教材高中数学课时分层作业25对数的运算含解析北师大版必修第一册
