第七章 自旋与全同粒子
?x??y??z?i .证明：?
?x??y???y??x?2i??z 及 证：由对易关系??x??y???y??x?0 ， 得 反对易关系??x??y?i??z ??z，得 上式两边乘??z2?1 ?x??y??z?i??z2 ∵ ? ??x??y??z?i ∴ ??的测不准关系： ?和S 求在自旋态?1(Sz)中，Syx2 (?Sx)2(?Sy)2??
?的矩阵表示别离为 ?表象中?1(S)、S?、S解：在Szyzx2?1???01???0?i??? ?1(Sz)???10?? Sy?2??0?? Sx?2??i0?? 2??????∴ 在?1(Sz)态中
2??01??1?? Sx??1Sx?1?(1 0)????0???0 22102??????201011???????????1?(1 0)??????S??1S? ??????222?10?2?10??0?42x?2x(?Sx)?S?Sx22x2?2? 40?i??1???1?(1 0)??????Sy??1?S?0 y2????22?i0??0?20?i0?i1???????????1?(1 0)??????S??1S? ??????222?i0?2?i0??0?42y?2y2(?S222y)?S?Sy??y4 (?S22?4x)(?Sy)?16
讨论：由S?x、S?y的对易关系 [S?x，S?y]?i?S?z ?2S24 要求(?S22z22?x)(?Sy)?4 (?Sx)(?Sy)?16在??1(S2z)态中，Sz?2 ∴ (?S2)2??4 x)(?Sy16
可见①式符合上式的要求。
.求S?x???01?2?????0?i??10??及?Sy?2???i0??的本征值和所属的本征函数。 ? 解：S?x的久期方程为 ???
?2?0 ?2?(?)2?0?????2??22
∴ S?x的本征值为??2。 设对应于本征值
?2的本征函数为 ??a1?1/2????b?? 1? 由本征方程 S?x?1/2??2?1/2 ，得 ??01??a1???a2???10??????b?1???2??1??b? 1??? ??b?1??a1??a?????b?b1?a1 1??1?? ? ①
由归一化条件 ?1?/2?1/2?1，得
a**?1?(a1,a1)??a???1 ?1?
即 2a1?1 ∴ a1?212 b1?12
?1?1??对应于本征值的本征函数为 ?1/2??1?? 22??设对应于本征值??a2???的本征函数为 ??1/2?? ??2?b2????由本征方程 S????1/2 x?1/22?b2???a2??? ?a??????b???b2??a2 ?2??2?由归一化条件，得
a?**?2 (a2,?a2)???a???1
?2?即 2a22?1 ∴ a2?12 b2??12
对应于本征值??1?1???的本征函数为 ??1/2? ??22??1??的本征值为??。其相应的本征函数别离为 同理可求得Sy2??121?1?1?1????? ???1????22?i?2??i?
求自旋角动量(cos?,cos?,cos?)方向的投影
??S?cos??S?cos??S?cos? Snxyz本征值和所属的本征函数。
第七章自旋与全同粒子
