即f(x)在(0,1]上单调递增．
1
故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
2
生活中的优化问题
[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[精解详析] (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx)＝(21－x)(432＋kx)，
又由已知条件，24＝k×2，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x＋126x－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)． 令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12. 当x变化时，f′(x)，f(x)如下表：
2
3
22
2
2
2
x f′(x) f(x) 0 (0,2) － 2 0 极小值 (2,12) ＋ 12 0 极大值 (12,21) － 21 0 9 072 因为f(0)＝9 072 (2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案． 7．做一个容积为256 dm的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省材料． 3 6 / 10 25625622 解析：设水箱底面边长为x dm，则高为2 dm，用料总面积S＝x＋4·2·x＝x＋ xx256×4 ， xS′＝2x－ 256×4 ，令S′＝0得x＝8， 2 x当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0， ∴当x＝8时，S取得最小值，则高为4 dm. 答案：4 8．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个． (1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式； (2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值． 解：(1)设日销售量为s，则s＝x，因为x＝40时，s＝10，故10＝40，则k＝10e， ee10e10e 所以s＝x，故y＝x(x－30－m)(35≤x≤41)． eee－x－30－me31＋m－x40 (2)y′＝10e×＝10e×. x2xee 4040 40 xkk40 xx31＋m－x40 令y′＝10e×＝0，则x＝31＋m. xe 当2≤m≤3时，y′<0，所以y在35≤x≤41上为减函数， 所以x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e(5－m)元． 1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值． 1 例如：函数f(x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值． 5 x2．解决优化问题的基本思路 7 / 10 [对应课时跟踪训练十三] 1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( ) A．等于0 B．大于0 C．小于0 D.以上都有可能 答案：A 2．函数f(x)＝x3 －x2 －x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( ) A．2 B．1 C．－2 D.－1 解析：f′(x)＝3x2－2x－1， 令f′(x)＝0，解得x＝－1 3 (舍去)或x＝1， 又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1. 答案：B 3．函数f(x)＝12ex(sin x＋cos x)在区间??π? 0，2???上的值域为( ) ??1，1?A.e2????1，1?22 B.e2????22? ???C．[1，e2] D.(1，e2) 解析：f′(x)＝12ex(sin x＋cos x)＋12ex(cos x－sin x)＝excos x， 当0≤x≤π 2 时，f′(x)≥0， ∴f(x)在???0，π2???上是增函数． ?∴f(x)的最大值为f??π?2???＝1 2 e2， f(x)的最小值为f(0)＝12 . 8 / 10 答案：A 4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为 d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( ) A. 3C.3d 3 2 2 2 d B. 2 D.2d 2 2 2 d解析：设断面高为h，则h＝d－x.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh＝k·x(d－x)，0 2 2 2 33 d(舍去负值)．当0 f′(x)>0，f(x)单调递增；当 3 d 33 d.所以x＝d时，f(x)有最大值，故选C. 33 义域(0，d)内只有一个极大值点x＝ 答案：C 1x－x5．设x0是函数f(x)＝(e＋e)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是 2________． 1x－x解析：f′(x)＝(e－e)，令f′(x)＝0，∴x＝0， 2 可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y＝1. 答案：y＝1 6．已知函数f(x)＝x－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 解析：令f′(x)＝3x－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 答案：32 7．求函数f(x)＝e(3－x)在区间[2,5]上的最值． 解：∵f(x)＝3e－ex，∴f′(x)＝3e－(ex＋2ex)＝－e(x＋2x－3)＝－e(x＋3)(x－1)， ∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－e(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减， ∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝ 2 23 x2 xx2xx2xx2xx9 / 10 －22e. 8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． 5 (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最大，试问：x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)． 由已知得 3 2 a＝2x，h＝ 60－2x＝2(30－x)，0＜x＜30. 2 2 (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝ah＝22(－x＋30x)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 2 3 2 h11此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为. a22 10 / 10
高中数学第三章导数应用22最大值、最小值问题教学案北师大版2
