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准备题1. 如图，直线y=-x+1和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2,0）和点B（k,）．
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（1）k的值是 ；
y （2）求抛物线的解析式；
1
（3）不等式x2+bx+c >-x+1的解集是 .
2
B O
A x (图6）
例1..如图，直线y??x?3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y?ax?bx?c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x?2． （1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与
2△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． [解] Q直线y??x?3与x轴相交于点B，?当y?0时，x?3， y x?2 C ?点B的坐标为(3，，B两点， 0)． 又Q抛物线过x轴上的Ay x?2 O A ，0)． C且对称轴为x?2，根据抛物线的对称性，?点A的坐标为(1 B P 3)，?c?3． （2）Qy??x?3过点C，易知C(0，，，0)B(3，0)， 又Q抛物线y?ax?bx?c过点A(12，?a?b?3?0，?a?1?y?x2?4x?3． 解得????9a?3b?3?0．?b??4．O A B P x
（3）连结PB，由y?x?4x?3?(x?2)?1，得P(2，?1)， 设抛物线的对称轴交x轴于点M，在Rt△PBM中，PM?MB?1，
22?∠PBM?45o，PB?2．由点B(3，，0)C(0，3)易得OB?OC?3，
o在等腰直角三角形OBC中，∠ABC?45，由勾股定理，得BC?32．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似． ①当
BQPBo，∠PBQ?∠ABC?45时，△PBQ∽△ABC． ?BCAB即BQ2，?BQ?3，又QBO?3，?点Q与点O重合，?Q1的坐标是(0，0)． ?232QBPBo，∠QBP?∠ABC?45时，△QBP∽△ABC． ?ABBC②当
即
227QB2，?QB?．QOB?3，?OQ?OB?QB?3??， ?333232?7??Q2的坐标是?，0?．
?3?Q∠PBx?180o?45o?135o，∠BAC?135o，?∠PBx?∠BAC． ?点Q不可能在B点右侧的x轴上
0)Q2?，0?，能使得以点P，B，Q为顶点的三角综上所述，在x轴上存在两点Q1(0，，形与△ABC相似。
例2.二次函数y??7?3??12x的图象如图所示，过y轴上一点M?0，2?的直线与抛物线交于A，8B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．
（1）当点A的横坐标为?2时，求点B的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点A，B作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在EF上是否存在点P，使∠APB为直角．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求ACgBD的值．
[解] （1）根据题意，设点B的坐标为?x，x?，其中x?0．Q点A的横坐标为?2，
??182??1?3??A??2，?． QAC⊥y轴，BD⊥y轴，M?0，2?，?AC∥BD，MC?，
2?2?12x?212BDMDx8．即?． MD?x?2．?Rt△BDM∽Rt△ACM．??38ACMC22解得x1??2（舍去），x2?8．?B?8，8?． （2）存在． 连结AP，BP． 由（1），AE?1，BF?8，EF?10．设EP?a，则PF?10?a． 2QAE⊥x轴，BF⊥x轴，∠APB?90o，?△AEP∽△PFB．
1AEEPa．?2?．解得a?5?21．经检验a?5?21均为原方程的解． ??PFBF10?a8?点P的坐标为3?21，0或3?21，0．
（3）根据题意，设A?m，m?，B?n，n?，不妨设m?0，n?0．
???2???18????182??BDMD?， ACMC121n?22?n2nn8． 则或?8??m2?1m2?m1m2?288由（1）知
化简，得?mn?16??m?n??0．
Qm?n≠0，
?mn??16． ?ACgBD?16．
20)，例3. (湖北湛江课改卷）已知抛物线y?ax?bx?2与x轴相交于点A(x1，B(x2，0)(x1?x2)，且x1，x2是方程x2?2x?3?0的两个实数根，点C为抛物线与y轴
的交点．
（1）求a，b的值
（2）分别求出直线AC和BC的解析式；
（3）若动直线y?m(0?m?2)与线段AC，BC分别相交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；
y 3 2 1 ，x2?3． [解] （1）由x?2x?3?0，得x1??12，B两点的坐标分别代入?A(?1，，0)B(3，0)，把A?2?11 2 3 4 x
y?ax2?bx?2联立求解，得
24a??，b??．
33（2）由（1）可得y??224x?x?2，Q当x?0时，y?2，?C(0，2)． 33，C两点坐标分别代入y?kx?b，联立求得 设AC:y?kx?b，把Ak?2，b?2．?直线AC的解析式为y?2x?2．
同理可求得直线BC的解析式是y??2x?2． 3（3）假设存在满足条件的点P，并设直线y?m与y轴的交点为F(0，m)．
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1，作EP1?x轴于P2?x轴于P2，如图，则
△PDE和△P2ED都是等腰直角三角形， 1DE?DP1?FO?EP2?m，
y AB?x2?x1?4．
△CDE∽△CAB， QDE∥AB，?C(0，2) D F E A(?1，0) P1 O P2 y?m B(3，0) x
?DECFm2?m4，即?．解得m?． ?ABOC4234?点D的纵坐标是，Q点D在直线AC上，
341?14?，解得x??，?D??，?．
33?33??2x?2??1?，0)． ?P0?，同理可求P2(11??，3??②当DE为底边时，
过DE的中点G作GP3，如图， 3?x轴于点P则DG?EG?GP3?m， 由△CDE∽△CAB， 得
y DECF2m2?m，即，解得m?1． ??ABOC42?1??2??3??2?C(0，2) D F G E A(?1，0) y?m B(3，0) O P2 x
1?，E?，1?， 同1方法．求得D??，?DG?EG?GP3?1
?OP3?FG?FE?EG?1?1?0?． ，?P3?，22??222结合图形可知，P3D?P3E?2，ED?4，
?1??ED2?P3D2?P3E2，?△DEP3是Rt△，?P3?，0?也满足条件．
2??0?，P2(1，，0)P3?，0? 综上所述，满足条件的点P共有3个，即P1??，
例4.在矩形ABCD中，AB?4，BC?2，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则． C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）
?1?2???1?2??
初三数学压轴题含答案
