高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡
coplanar concurrent force systems; 在学术文献中的解释
1、各力作用线在同一平面内且汇交于一点的力系称为平面汇交力系.平面汇交力系是最简单、最基本的力系.理论力学中平面汇交力系的解题方法有两种:一种是几何法,另一种是解析法
平面汇交力系的平衡条件是 ∑X=0，∑Y=0
平面平行力系
平面平行力系：各力的作用线在同一平面内并且互相平行的力系称为平面平行力系。例如起重机、桥梁等结构上所受的力系，常常可以简化为平面平行力系。 平面平行力系可以看成是平面一般力系的特殊情形。它的平衡方程比平面一般力系简单，只有两个独立的平衡方程，即 ΣFx=0 或 ΣFy=0 ΣMo=0 ΣMo=0
前者为各力都与y轴平行，后者各力都与x轴平行。 平面平行力系的平衡方程也可以表示为两力矩形式，即 ΣMA=0 ΣMB=0
但AB的连线不能与主力平行。
平面一般力系
平面一般力系：指的是力系中各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面一般力系。又称为平面任意力系。
平面一般力系的平衡条件是;平面一般力系中，所有各力在力系作用的平面内，两个互相垂直的坐标轴上投影的代数和分别等于零。其平衡方程为： ΣFx=0
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ΣFy=0 ΣMo（F）=0
§1.6 平衡的稳定性
?g物体的重心即重力的作用点。在重力加速度为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我
们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量
成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L，质量分别为m1,m2的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且m1,m2与相距分别为：
1．6．1、重心
(m1?m2)L1?m2L?0 (m1?m2)L2?m1L?0
m2Lm1LL1?L2?m1?m2 m1?m2
均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，
求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
物体重心（或质心）位置的求法
我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为G1,G2的两
X O A R B C P x1 G1 x3 G3 x
x2
G2 G均匀圆球和重量为3的均匀杆连成的系统，设立如
图1-6-1
x1,x2,x3，系统重心在P
R?G1?G2?G3达到平衡时有：
点，我们现在求其坐标x。设想在P处给一支持力R，令
图坐标系，原点取在A球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为
?M?Gxx?11?G2x2?G3x3?Rx?0
∴
这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们不难证明其重心位置为：
G1x1?G2x2?G3x3G1x1?G2x2?G3x3?RG1?G2?G3
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一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：
?Gixi?x???Gi??Giy??y???Gi??Giz?z???Gi?
如图1-6-2，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为l，求其质心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？
解：设整个棒重心离最左端距离为x，则由求质心公式有
?mixi??x??mi??miyi???y??mi??mz?z??ii??mi?P l
图1-6-2
m1x1?m2x2???m5x5m1?m2???m5i
l3579?v??1.1?v?l?1.2?v?l?1.3?v?l?1.4?v?l22222??v?1.1?v?1.2?v?1.3?v?1.4?b
?2.67l
iimx?x??m?若为n段，按上式递推得：
x?l?21?1.1?3?1.2?5?1.3?7???(1?n?1)(2n?1)10n?11?1.1?1.2?1.3???(1?)10
将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：
1.1?1.2?2?1.3?3???(1?x?n?1)(n?1)10ln?11?1.1?1.2???(1?)10
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A B
C
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图1-
12n?1)?(1?)?2???(1?)(n?1)101010?n?11?1.1?1.2???(1?)10
?1?2???(n?1)??112?22???(n?1)210?ln?1??1.31q?)1.2???(1?)(n?1)(12n10?l
3(n?q) (1???例、如图1-6-3所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球
R3R35和G4的小球，均质杆重量为64，长度l?4R，试求系统的重心位置。分别挖去半径为2
解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1-1-31所示平行
力系；其中
A B G27l Ga??,Gb??G 864。设重心位置为O，
a? b b? a 则合力 C W?G?G?且
?MG2793?G?G86464
即
3 图1－6－
0(Gi)?0G(3R?OC)?? OC=0.53R
27RGR35G(OC?3R?)?(3R??OC?G?OC?G(3R?OC)6448264
1．6．2、物体平衡的种类
物体的平衡分为三类：
稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。
不稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。
随遇平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后，重心高度不变。
在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受到平行于
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管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。
1．6．3、稳度
物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度越大。
§1.7 流体静力学
流体并没有一定的开头，可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流体具有不可压缩的特征。
1．7．1、 静止流体中的压强 (1)静止流体内部压强的特点
在静止流体内任何一点处都有压强，这一压强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。
关于流体内部的压强与方向无关，可以证明如下： 在静止流体中的某点处任取一个长为?l的极小的直角三棱液柱，令其两侧面分别在竖直面内和水平面内，作其截面如图1-7-1所示，图中坐标轴x沿水平方向，坐标轴y沿竖直方向，以?x,?y,?n分别表示此液柱截面三角形的三条边长，且
PP,P以?表示此截面三角形的一个锐角如图1-7-1，又以x,yn分别表示对应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分
别为：
y ?fx O ??fx?Px?y?l ?fy?Py?x?l
?y ?fy ? ?x x
?fn 由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的
压力，故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有：
??fx??fncosa???fy??fnsina
?Px?y?l?Pn?n?lcosa??Py?x?l?Pn?n?lsina?fn?Pn?n?l
图1-7-1
即
注意到?x??nsina,?y??ncosa，代入上式便得
说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。 (2)静止流体内部压强的大小 若静止流体表面处的压强为P。（通常即为与该流体表面相接触的气体的压强），流体的密度为?，则此流体表面下深度为h处的压强为
Px?Py?PnP?p0??gh
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高中物理竞赛教程（超详细修订版） - 第五讲 - - 力、物体的平衡
