高中物理竞赛力学教程 第一讲 力、物体的平衡
F?，摩擦角为
f??tg?1?tg?1?N，这样木块受三个力：重力G，桌面对木块的作用力F?和拉力F，
如图1-1-14，作出力的三角形，很容易看出当F垂直于F?时F最小，即有F与水平方向成
??tg?1?时最小。
例1、 例1、 如图1-1-15所示皮带速度为0，物A在皮带上以速度v1垂直朝皮带边运动，试求物A所受摩擦力的方向。 解：物A相对地运动速度为力f与Vr方向相反如图所示。
例2、物体所受全反力R与法向的夹角能出现吗？
vVr,V1?V0?Vr，滑动摩擦
???m的情形可
f?? ???tga?tg?Nmm解：不可能。因为若有则即。
?f?fmax，
这是不可能的。然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时，
可事先假定它静止，由平衡求出
A V?0
图1-1-15
V1 A V1 V0
f
??tg?1()FN,有如下三种情形：
F2F 3
F4???m静止?????m临界状态???滑动?m
F合
图1-1-16
§1.2力的合成与分解
1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则
F2 即力F1和F2的合力即此二力构成的平行四
边形的对角线所表示的力F，如图1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将F1,F2通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即
F F1 F F2
F1
F1,F2的合力。（如图1-2-1(b)）
(a) (b)
图1-2-1
如果有多个共点力求合力，可在三角形法则
的基础上，演化为多边形法则。如图1-2-2所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力F4力矢末端的有向线段就表示它们
F3
F4
F2
∑F F4
F4
F3
F5
F1
F3
F1 2 (a) (b) (c) 图1-2-2
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F1
FF2
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的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即F1力矢的起步与5力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。
力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下
三种情况：
①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。
③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。
1．2．2、平面共点力系合成的解析法 如图1-2-3，将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde，并在该平面取直角坐标系Oxy，作出各力在两坐标轴上的投影，从
y y 图上可见：
e R?F?F?F?F?xF1x2x3x4x4 F4y ?R d ?Ry?F1y?F2x?F3x?F4x Rx Ry F3y a F3 ? 上式说明，合力在任意一轴上 F1 c 的投影，等于各分力在同一轴上投
F1y F2y 影的代数和，这也称为合力投影定
b F2 x RO 2x F3x F1x F理。知道了合力R 的两个投影x O Rx FFy 4x R 和y，就不难求出合力的大小与 (a) (b)
方向了。合力R的大小为： R?R2?R2图1-2-3 xy
合力的方向可用合力R与x轴所夹的角的正切值来确定：
Fx
tga?RyRx
1．2．3、平行力的合成与分解
作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。
两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图
B O 1-2-4(a)，有： O F2 A ?R?F1?F2??AOF2?BO?F1?
两个反向平行力的合力（R）的
A R F1 B F1 F2
R 第12页共22页
(a)
图1-2-4
(a)
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大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外
Z 侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图1-2-4(b)，有：
R?F1?F2
OA F2 ? OB F1
1．2．4、空间中力的投影与分解
力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间
z X X i ?F夹角的余弦，如图1-2-5中的力在ox、oy、oz轴上的投影
X、Y、Z分别定义为
j β α Y γ k Y 图1-2-5
这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法。这时
X?Fcosa??Y?Fcos??Z?Fcos???Z F ???X?Fxycos(Fxy,x) ??F式中xy为F在oxy平面上的投影矢量，而
力沿直角坐标轴的分解式
O ???Fxy?Fsin(F,Z) X Fxy Y 图1-2-6
§1.3共点力作用下物体的平衡
1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。
物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。
共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合
F3 力为零。
?F1
或其分量式：
i??????F?Xi?Yj?Zk?Fxi?Fyj?Fzk?Fii?0
如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，
ii?Fix?0?Fiy?0?Fiz?0? ? ?F2 图1-3-1
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用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：
FF1F?2?3sin?sin?sin?
1．3．2、推论
物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。
特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。
§1.4 固定转动轴物体的平衡
1．4．1、力矩
力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定F 的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时 O 外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用
d 线与轴的距离——力臂(d)。
力与力臂的乘积称为力矩，记为M，则M=Fd，如图1-4-1，O为
垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。
图1-4-1 力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力
对物体绕该轴转动没有作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将
力分解为垂直于轴的分量F⊥和平行于轴的分量F∥，F∥对转动不起作用，这时力F的力矩为M=F⊥d。
通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。
1．4．2、力偶和力偶矩 一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图1-4-2中F1,F2即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直
F1 的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到
F1?F2?F，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离。力偶
矩与所相对的轴无关。
1．4．3、有固定转动轴物体的平衡
有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。
§1.5 一般物体的平衡
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F2
r1r2
O 图1-4-2
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力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零足，一般物体的平衡条件写成分量式为
(?F外?0)和合力矩为零
(?M?0)同时满
?F?F?Fxy?0?Mx?0?0?Mz?0?0?My?0
z
分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。
由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系（设在xOy平面内），则的平衡方程为：
xMx,My,Mz?Fx?0,?Mx?0,?My?0自动满足，则独立
?F?0 ?F?0 ?F?0
?M?0这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为
yzz零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。
附：平面汇交力系
英文对照
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高中物理竞赛教程（超详细修订版） - 第五讲 - - 力、物体的平衡
