青岛科技大学机电工程学院装控系 化工设备机械基础讲稿 第7章
第七章 复杂应力和强度理论
本章重点内容及对学生的要求：
（1）主平面、主应力以及一点处的应力状态的概念和三种应力状态； （2）构件在二向应力状态下的解析法应力分析；
（3）第一、第三和第四强度理论的概念以及相当应力的表达式； （4）弯扭组合的强度计算。
第一节 应力状态与二向应力状态分析
1、问题的引出（questions）
前几章我们讨论构件的拉压、弯曲、剪切与扭转的强度时，计算的是杆横截面上的应力，受力状态比较简单，而当构件内危险点处的应力不是单一的一种应力，或者是过该点的两个相互垂直的截面内都有正应力，我们该怎么处理？（利用教材Page.120的例子和相关的图形进行说明）
2、一点的应力状态（state of stress at a given point）
一点处的应力状况就是指构件受力后，过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。
3、单元体
常采用围绕所要研究点的周围取出一个微小的正六面体，单元体，在知道了单元体的三个相互垂直的平面上的应力后，单元体上的任一斜截面上的应力都可以通过截面法求出。
单元体定义：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用正六面体。 单元体的性质：a、在两个相互平行面上，应力均布； b、在两个相互平行面上，应力相等。
如果单元体的截取方法改变，那么单元体上的应力也随之改变（如图7－1所示），但是之间存在一定的关系，我们可以从一个单元体上的应力求出另一个与其方位不同的单元体上的应力。此即本节的理论基础。即主要解决从利用静力平衡求得已知应力状态的构件横截面相关的单元体确定主平面的位置和应力状况。
图7－1 不同方位截取的单元体上的应力 图7－2三个主应力表示一点的应力状态
4、一点处的应力表达和主平面
在单元体上的三个相互垂直的平面上即可能是正应力，剪应力或者二者的组合。
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? 主单元体（the principal body）：各个侧面上的剪切应力均为零的单元体； ? 主平面（the principal plane）：单元体上没有切应力的面称为主平面； ? 主应力（the principal stress）：作用在主平面上的正应力，分别用?1,?2,?3表示； ? 主应力的大小规定：①主平面上没有剪应力，由三对主平面构成的单元体来表示一点
的应力状态时，便于各种受力构件的比较，所以截取单元体时，就不任意截取，而是
截取由三个主平面构成的单元体，该单元体称为主应力单元，且规定?1??2??3。②比较时有正负号的规定。
5、应力状态分类
? 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：两个主应力为零，例如受轴向拉压
的直杆及纯弯曲直梁内各点的应力状况； ? 平面（二向）应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零，化工容器器壁各
点的应力状态，以及受横力弯曲（剪切弯曲）的梁内除了上下边缘各点以外其他各点的应力状态，受扭的圆轴，除了轴线上各点以外任意点的受力状态； ? 空间（三向）应力状态（Three—Dimensional State of Stress）：三个主应力均不为零；
6、二向应力状态分析
（1）斜截面上的应力
列平衡方程：
?F ?0
n??dA??xy(dAcos?)sin???x(dAcos?)cos???yx(dAsin?)cos???y(dAsin?)sin??0
?F ?0
t??dA??xy(dAcos?)cos???x(dAcos?)sin???yx(dAsin?)sin???y(dAsin?)cos??01?2cos??(1?cos2?)?2?1?2利用三角函数公式?sin??(1?cos2?)
2??2sin?cos??sin2???并利用剪应力互等定律?yx??xy可得：
2
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11221???(?x??y)sin2???xycos2?
2???(?x??y)?(?x??y)cos2???xysin2?
正负号规定：
? 正应力：拉为正；反之为负；
? 切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负；
? α角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。
在分析二向应力，可以采取解析法和作图法，教材中给出的是作图法，本讲义主要以介绍解析法为主，作图法留给学生自学。 （2）解析法分析二向应力状态 确定正应力极值：???11(?x??y)?(?x??y)cos2???xysin2? 22从上式知，任一斜截面上??和?a均为?的函数，故最大正应力和最小正应力所在平面，有：
d????(?x??y)sin2??2?xycos2??0 d?设?＝?0时，上式值为零，即：?(?x??y)sin2?0?2?xycos2?0?0
?(σ?σy)??2?xsin2α?τcos2α?0 0xy0???2τα02??即最大及最小正应力所在的平面就是剪应力等于零的平面，也就是主平面。
tan2?0??2?xy?x??y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。
?max??x??y21?2??，?min?x??y??4?22xy?x??y2?12??2x??y??4?xy
2（3）例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
?已知：?x?60MPa，?xy??30MPa,?y??40MPa,???30。
试求（1）? 斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。
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解：（1）? 斜面上的应力
?????x??y2??x??y2cos2???xysin2?
60?4060?40?cos(?60?)?30sin(?60?)?9.02MPa 222sin2???xycos2??????x??y60?40sin(?60?)?30cos(?60?)??58.3MPa 2（2）主应力、主平面
?max??min?2?x??y2?(2?(?x??y2)2??2xy?68.3MPa
?x??y?x??y)2??2xy??48.3MPa
?1?68.3MPa,?2?0,?3??48.3MPa
主平面的方位：tg2?0??2?xy?x??y???60?0.6，
60?40?0?15.5?,?0?15.5??90??105.5?
??主应力?1方向：?0?15.5；主应力?3方向：?0?105.5，主应力单元体为：
（3）图解法的两向应力分析（自学，详见幻灯片）
（4）广义虎克定律（不讲推导，只给学生一个简单的印象）
广义胡克定律的一般形式：
1?x??(?y??z) E1?y??y??(?z??x)
E1?z??z??(?x??y)
E?x????????xy?
?xyG ?yz??yzG ?zx?4
?zxG
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（5）在三应力状态下一点的最大剪应力：?max=各成45角的斜截面上。
0
?1-?22，作用在与?1，?3作用的主平面
第二节 强度理论
1、 强度理论简介
引导学生复习杆件基本变形下的强度条件。
在工程实际中，多数构件上的危险点都处于复杂应力状态。在复杂应力状态下，材料的破坏与三个主应力有关。由于三个主应力之间的比例是多种多样的，因此通过许多试验来确定材料在各种应力状态下的极限应力是很困难和不现实的。所以问题的解决是根据一定的试验资料和实践经验，提出关于破坏的假说。（就像星云学说一样与古埃及金字塔）
强度理论（起源于failure by lost strength）：根据实践中复合受力下构件或材料的破坏现象，对之进行科学分析，寻找导致破坏的主要原因，然后根据某一主要因素，利用简单试验的结果，来建立复杂应力状态下的强度条件。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
? 强度理论的实质是用来说明材料在复杂应力状态下，在什么条件下发生屈服，在
什么条件下发生断裂。
（1） 断裂破坏：一般无明显的塑住变形即发生断裂，破坏面比较粗糙，且多发生在最大
正应力截面上。例如铸铁受拉伸时在横截面上的断裂及受扭时在与轴线成450角的截面上的断裂。
（2） 屈服破坏(也叫流动破坏) 材料发生显著的塑性变形，以致构件不能正常工作，有的
可能发生剪断。例如低碳钢受拉伸时所发生的屈服现象；受扭时发生的屈服及最后剪断的现象，破环面比较平滑，且多发生在最大剪应力截面上。
2、 经典强度理论
（1）最大拉应力理论（第一强度理论）
材料发生断裂的主要因素取决于最大拉应力，是最大拉应力达到极限值，是人们依据早期使用的脆性材料（天然石块、砖块与铸铁）易于断裂提出的，适用于承受拉应力的脆性断裂机理的解释。此理论在17世纪就提出，为最早的强度理论，故称为第一强度理论。
破坏条件：?1??b 强度条件：?1??bn????
?1－构件危险点的最大拉应力；
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第七章复杂应力和强度理论.
