基本不等式专题
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是
( )
A.a+b≥2 B.+>
C.+≥2 D.a2+b2
>2ab
【解析】选C.因为ab>0,所以>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号.
2.若2x
+2y
=1,则x+y的取值范围是 ( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
【解析】选D.因为1=2x
+2y
≥2
=2
,
所以≤,所以2x+y
≤,得x+y≤-2.
3.(2019·深圳模拟)已知f(x)=(x∈N*
),则f(x)在定义域上的最小值为
A. B. C. D.2
【解析】选B.f(x)==x+,
( )
因为x∈N,所以x+
*
≥2 =2,
当且仅当x=
*
,即x=时取等号.
但x∈N,故x=5或x=6时,f(x)取最小值,
当x=5时,f(x)=,当x=6时,f(x)=,
故f(x)在定义域上的最小值为.
4.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有 ( ) A.最大值为0 C.最大值为-4
B.最小值为0 D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0,所以f(x)=-号.
-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时,取等
5.若a≥0,b≥0,且a(a+2b)=4,则a+b的最小值为 ( ) A.
B.4
C.2
D.2
【解析】选C.因为a≥0,b≥0,所以a+2b≥0,又因为a(a+2b)=4,所以4=a(a+2b)≤且仅当a=a+2b=2时等号成立.所以(a+b)≥4,所以a+b≥2. 6.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为 ( )
2
,当
A. B.2 C. ,
D.2
【解析】选D.因为x>0,y>0,x+2y≥2所以4xy-(x+2y)≤4xy-2所以4≤4xy-2
,
,
即(所以
-2)(+1)≥0,
≥2,所以xy≥2.
7.(2018·衡水模拟)若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为
( )
A.8
B.6
C.4
D.2
【解析】选C.由a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),得lg(ab)=lg(a+b),即ab=a+b,则有+=1,所以
a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.设P(x,y)是函数y=(x>0)图象上的点,则x+y的最小值为________. 【解析】因为x>0,所以y>0,且xy=2.由基本不等式得x+y≥2答案:2
=2
,当且仅当x=y时等号成立.
9.已知x,y为正实数,则+的最小值为________. 【解析】因为x,y为正实数,则+=++1=++1,
令t=,则t>0,所以+=+t+1=+t++≥2+=,当
且仅当t=时取等号.
所以+的最小值为.
答案:
10.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的面积为9
平方米,且高度不低于
米,记防洪堤横断面的腰长
为x米,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=________.
【解析】设横断面的高为h,
由题意得AD=BC+2·=BC+x,h=x,
所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x,故BC=-,由得2≤x<6,
所以y=BC+2x=+(2≤x<6),
从而y=+≥2 =6,
当且仅当答案:2
=(2≤x<6),即x=2时等号成立.
(20分钟 40分)
1.(5分)当0 + ≥k-2k恒成立,则实数k的取值范围为( ) B.[-4,0)∪(0,2] D.[-2,4] 2 【解析】选D.因为0 m=时取等号,所以+=≥8,又+≥k-2k恒成立,所以k-2k-8≤0,所 22 以-2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[-2,4]. 2.(5分)(2018·石家庄模拟)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x+y=4截得的弦长为2t=a 取得最大值时a的值为 ( ) 2 2 ,则 A. B. C. D. 【解析】选D.因为圆心到直线的距离d=,则直线被圆截得的弦长 L=2=2=2,所以4a+b=4,则t=a 22 = ·(2a)·≤××[(2a)+( 2 )]= 2 ·[8a 2 +1+2(4-4a)]= 2 ,当且仅当时等号成立,此时a=. 3.(5分)(2019·邯郸模拟)设x>0,y>0,且=,则当x+取最小值时,x+ 2 =________. 【解析】因为x>0,y>0,所以当x+取最小值时,取得最小值,因为=x+ 2 +,又 =,所以x+ 2 =+, 所以=+≥2 =16, 所以x+≥4,当且仅当即x=2y时取等号, =, 所以当x+取最小值时,x=2y,x+ 2 +=16, 所以x+ 2 +=16, 所以x+答案:12 2 =16-4=12. 4.(12分)已知x,y∈(0,+∞),x+y=x+y. 22 (1)求+的最小值. (2)是否存在x,y满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由. 【解析】(1)因为+==≥=2,当且仅当x=y=1时,等号成立, 所以+的最小值为2. (2)不存在.理由如下: 因为x+y≥2xy, 所以(x+y)≤2(x+y)=2(x+y). 又x,y∈(0,+∞),所以x+y≤2. 2 2 2 2 2 从而有(x+1)(y+1)≤ 因此不存在x,y满足(x+1)(y+1)=5. ≤4,
核心素养提升练 基本不等式
