抽象代数基础丘维声答案
【篇一：index】
t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律 [文章摘要]
通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和理想。 [关键字]
模n剩余类环循环群 子环主理想 [正文]
模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。 一，定义：
在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r，
arb，当而且只当n|a-b的时候
这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用 a?b(n)
来表示（读成a同余b模n）。
这个等价关系决定了a的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余类。
二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定： [a]+[b]=[a+b]; [0]+[a]=[a]; [-a]+[a]=[0];
根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。叫做模n剩余类加群。 这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。
三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定： [a][b]=[ab]；
根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。叫做模n剩余类环。 四，关于理想的定义：
环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如： (i) a,b?a?a-b?a；
(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；
所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；
(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；
由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。 思路：
第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；
第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环； 第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。 例题:找出模12的剩余类环的所有理想。 具体步骤： 第一步：
模12剩余类环所有元素的集合：
z12={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}
找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示： ([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])={[0],[6]}; 第二步：
考虑对乘法的封闭性，求其子环： ([0])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])={[0],[6]}; 第三步：
根据理想的定义，对以上的子环，求其理想： ([0])= ([12])={[0]};
([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12;
([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]}; ([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]}; ([4])=([8])={[0],[4],[8]}; ([6])=([6])={[0],[6]}; 解答完毕。
通过观察以上的例子我们发现以下特点：
(i) 模12剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于所有理想; (ii) 所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理想；
(iii) 第一列的所有生成元都是12的因子；
(iv) 第二列的所有生成元可表示为[12-pm],其中pm为12所有的因子.
于是我们有以下结论：
模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群，所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。 特别地，当n是素数时，只有零理想和单位理想。
命题1 模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群；
这是显然的，因为模n剩余类环本身对加法构成循环群，而循环群的子群是循环群。得证。
命题2 模n剩余类环的所有理想是主理想； 对上面的所有循环子群（对加法），?（[i]）， 根据理想的定义，?[a]? zn;[b],[c]?（[i]）;有: 1o [b]-[c]=[b-c]?（[i]）;
2o [a][b]=[ab]= [a]?[a]???[a]?（[i]）,同理：[b][a]?（[i]）； ??????? b
所以（[i]）做为一个理想，显然（[i]）是个主理想，记为a。
由命题二的证明过程我们得知：所有循环子群（对加法）加上乘法都是模n剩余类环的主理想。
命题3 模n剩余类环的所有循环子群可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。
设：n的所有因子为p1,p2,p3,…,pm,…;pm为n的因子。
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