∴椭圆的标准方程为
x24?y23?1． 10．【答案】B
【解析】由f?x??2sinx?ax?1，得f??x??2cosx?a，
∵函数f?x??2sinx?ax?1的图象在点?0,1?处的切线方程为y?x?1， ∴f??0??2cos0?a?2?a?1，解得a?1． 11．【答案】C 【解析】Qtan????2??????2cos??????， ∴cot???2cos?，∴cos??0或sin???12， 当cos??0时，sin???1，cos2??1?2sin2??1?2??1；
当sin???112时，cos2??1?2sin2??1?2?14?2， 综上，cos2?的值为?1或12．
12．【答案】D
【解析】设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1， 由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形， ∴S△AF1F?S?2△AF2B，?F1AF2?3，
设AF222?1?r1，AF2?r2，则4c?r1?r2?2r1r2?cos3， 又r1?r2?2a，故r1r2?4b2?16，∴S△AF1F2?12rr?12?sin3?43， 则△AF2B的面积为43．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】?6
?x?y?2?【解析】由约束条件?0?x?2y?2?0作出可行域如图，
??2x?y?2?0
化目标函数z?x?3y为y?13x?z3， 由图可知，当直线y?13x?z3过A?0,2?时，z有最小值为?6．
14．【答案】②
【解析】根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点， 若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件； 故①③错误，②正确； 故答案为②． 15．【答案】72
【解析】∵bcosCccosB?1?cos2C1?cos2B，可得sinBcosCsinCcosB?2cos2C2cos2B，可得sinBsinC?cosCcosB，可得sin2B?sin2C， ∴B?C，或B?C??2， 又∵cosA?13，∴B?C，可得b?c， ∴由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA，可得2b2?2b23?28，可得b?c?21， ∴S1△ABC?2bcsinA?72． 16．【答案】18
【解析】根据题意，PA?平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，
∴AB?PA，AC?PA，
又因为AB?PC，PCIPA?P，所以AB?平面PAC， 又因为AC?平面PAC，
∴AB?AC，即AB，AC，PA两两垂直，
将三棱锥还原为如图的长方体，设PA?a，AB?b，AC?c， 则长方体的外接球即为原三棱锥的外接球，
所以长方体的体对角线为外接球半径的二倍，即a2?b2?c2?2?3?6， 即a2?b2?c2?36．
S?S?S111△ABC△ABP?S△ACP?2ab?2ac?2bc
11?a2?2?ab?bc?ac???b2b2?c2a2?c2?12222??2?2?2???2?a?b?c??18， 当且仅当a?b?c?23时取得等号．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）12；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵在正六棱锥P?ABCDEF中，底边长为2，侧棱与底面所成角为60?． 连结AD，过P作PO?底面ABCD，交AD于点O，
则AO?DO?2，?PAO?60?，∴PA?2AO?4，PO?42?22?23，
S?6???1?2?2?2?sin60??ABCDEF???63，
∴该六棱锥的体积V?13?S?PO?1ABCDEF3?63?23?12． （2）证明：连结CE，交AD于点O，连结PG， ∵DE?CD，AE?AD，∴AD?CE，O是CE中点， ∵PA?PC，∴PG?CE，
∵PGIAD?G，∴CE?平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴PA?CE．
18．【答案】（1）an?21?n（n?N*）；（2）
nn?1． 【解析】（1）a21?2a2?2a3?L?2n?1an?n，①
∴当n?2时，a2n?21?2a2?2a3?L?2an?1?n?1，②
①-②得，2n?1a1n?1，∴an?2n?1（n?2）， 又∵n?1时，a11?n*1?1也成立，∴an?2n?1?2（n?N）．
（2）由已知bn?1log?1?1?1?1，
2an?1?log2an?2??n???1?n?n?n?1?nn?1T???1?1n?1?1?2?????1?2?1?3???L???1n?n?n?1???1?n?1?n?1． 19．【答案】（1）
25；（2）5229；（3）s1?s2． 【解析】（1）记事件A为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准， 则P?A??25， 所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为25． （2）随机抽取连续两年数据：共9次．
两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次．
设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件B，因此P?B??59． （3）s221?s2．
20．【答案】（1）x2?y2?45；（2）①证明见解析；②为定值，详见解析． 【解析】（1）因为Ax22，B1分别为椭圆C1:4?y2?1的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为?2,0?，?0,1?，可得直线A2B1的方程为x?2y?2，
115则原点O到直线AB22221的距离为d?，则圆1?22?5C2的半径r?d?5， 故圆C2242的标准方程为x?y?5． （2）①可设切线l:y?kx?b(k?0)，P?x1,y1?，M?x2,y2?， 将直线PM方程代入椭圆C1可得??14?k2???x2?2kbx?b2??1?0， ??x1?x2??2kb?1由韦达定理得??4?k2?xxb2?1，
?12??1??k24??k2?1b2则y1y2??kx1?b??kx2?b??k2x1x2?kbx1?x2??b2?14， 4?k2又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d?bk25，整理得?12?2k2?54b2?1，
则y1?b2uuuruuuur1y2?1，所以OP?OM?x1x2?y1y2?0，故OP?OM．
4?k2②由OP?OM，知S1△OPM?2OPOM， （i）当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|?1，|OM|?2，此时
1OP2?1OM2?54； （ii）当直线OP的斜率存在时，设OP:y?kx21x代入椭圆方程可得4?k21x2?1， 则x2?41?4k2，
1故OP2?x2?y2??1?k2?k21?1?x2?4?11?4k2，
14???1同理OM2??1??????2?k??1???4?k21?1?1?4k212?2，则11k21?451?4?k?4OP2?OM2?42?2?4， ?1?1?1?k1?4?1?k1???k?1?
综上可知：
OP2?OM2?4为定值．
21．【答案】（1）??0,1???e?；（2）证明见解析． 【解析】（1）f??x??lnx?1?aex，
由题意可知，lnx?1?aex?0在?0,???上有两个不同的实数根，
即
lnx?1ex?a，只需函数g?x??lnx?1ex和y?a图象有两个交点， 1ex??lnx?1?ex1?lnx?g??x??x?ex?2?x1ex，易知h?x??1x?lnx?1在?0,???上为减函数， 且h?1??0，
当x??0,1?时，g??x??0，g?x?为增函数；当x??1,???时，g??x??0，g?x?为减函数；所以g?x?max?g?1??1e，所以a?1e，
又当x?0，g?x????；x???，g?x??0， 要使f?x?在?0,???上存在两个极值点，则0?a?1e． 故a的取值范围为??0,1???e?．
（2）f?x??0?lnx?aexx?0，令F?x??lnx?aexx(x?0)， 下面证明在当a?2e2时，F?x?的最大值小于0， 则F??x??1axex?aexx?x2?x?a?x?1?exx2， 当0?x?1时，F??x??0，F?x?单调递增，所以F?x??F?1???ae?0；
当x?1时，F??x???a?x?1??xx?x2?e?a?x?1??，
??
令G?x??ex?xa?x?1?，G??x??ex?122ae2?2a?x?1?2?0，G?2??e?a?a?0， 取m??1,2?，且使ma?m?1??m?ae2?e2，即1ae2?1，
G?m??em?ma?m?1??e2?e2?0．
因为G?m??G?2??0，故G?x?存在唯一零点x0??1,2?， 即F?x?有唯一的极值点且为极大值点x0??1,2?， 由G?x0??0，可得ex0?x0a?x，故F?x10??lnx0?，
0?1?x0?1因为F??x110??x??1?2?0，故F?x0?为?1,2?上的增函数， 0?x0所以F?xae20??F?2??ln2?2?ln2?1?0，所以F?x??0， 综上可知，当a?2e2时，总有f?x??0． 22．【答案】（1）l:??cos??sin???4，M:??2cos??2sin?；（2）相切． 【解析】（1）如图，
设l上任一点P??,??， 在△OAP中，由正弦定理
??4，即??cossin?4sin??3????sin???4，
?4????设圆M上任一点Q??,??，连接OM延长交圆于B， 在直角三角形OBQ中，??22cos???????4??，即??2cos??2sin?． （2）把l与M的极坐标方程化为直角坐标方程，l:x?y?4，
M:x2?y2?2x?2y?0，
∵圆心M?1,1?到l的距离d?1?1?42?2?r，∴l与M相切．
23．【答案】（1）48?????3,3??；（2）??3,?1?． 【解析】（1）当a?2时，f?x??x?6，即2x?2?x?6， 当x?0时，原不等式化为2?2x?x?6，得x??43，即?43?x?0； 当0?x?1时，原不等式化为2?2x?x?6，即x??4，即0?x?1； 当x?1时，原不等式化为2x?2?x?6，得x?83，即1?x?83， 综上，原不等式的解集为???4?3,8?3??． （2）因为x???2,?1?，所以f?x??x?1?3x?0，可化为2x?a??2x?1，所以2x?1?2x?a??2x?1，即4x?1?a??1对x???2,?1?恒成立， 则?3?a??1，所以a的取值范围是??3,?1?．
河南郑州2020届高三数学模拟试卷(含答案)
