2019学年湖北省武汉市高二下学期期中考试数学（理）
试卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题
1. 已知随机变量 服从正态分布 N(1 ， )，且 P( <2)=0.8, 则 P(0< <1)=( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
2. 如图，阴影部分的面积是 ( )
A. 2
B. 2 － ________ C. D.
3. 已知 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等
于( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
4. 曲线 A.
B.
在点 M(
)处的切线斜率为( )
C. 1 D. 2
5. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
.假设各局比赛结
果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为 ( ) A.
6. 某产品近四年的广告费 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表，
B.
C.
D.
根据此表可得回归方程 中的 =9.4，据此模型预测下一年该产品广告费
预算为60万元时，其销售额为( )万元.
A. 650 B. 655 C. 677 D. 720
7. 随机变量 的取值为0，1，2，若
A. B.
8. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量 X ，则 P ( X =3)等于 ( ) A.
9. 定义在 R 上的可导函数 则不等式 A.
10. 将三颗骰子各掷一次，记事件 A ＝“三个点数都不同”， B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率 ， 分别等于( ) A.
，
________ B.
，
________ C.
，
________ D.
B.
，其导函数为 的解集为（ ） C.
D.
满足
恒成立，
B.
C.
D.
C.
D.
，
，则方差
，
11. 已知函数 A.
B.
有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） C.
D.
12. 已知曲线 y ＝ x 2 +1在点 P A.
B.
处的切线为 l ，若 l 也与函数
）
D.
C.
的图象相切，则 x 0 满足( ) （其中
二、填空题
13. 已知 ________ 14. 若 _________ .
15. 现需建造一个容积为 V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的 3 倍。 要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径 r 与高 h 的比值为 _______
16. 若存在两个正实数 x ， y 使等式
）则实数m的取值范围是 ________ .
成立，（其中
在 x =1处取得极大值 10 ，则
的值为
则
展开式中的各项系数和为
三、解答题
17. 如图，在直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中，
，
在线段
上。
(1) 若 D 为 AA 1 中点，求证：平面 B 1 CD 平面 B 1 C 1 D ； (2) 若二面角 B 1 — DC — C 1 的大小为 60° ，求 AD 的长．
18. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择 ; 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为
．第一次抽奖，若未中奖，
则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金 1000 元；若未中奖，则所获奖金为 0 元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为
，每次中奖均可获奖金 400 元．
(1) 求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 ( 元 ) 的分布列；
(2) 某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？
19. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班 ( 人数均为 20 人 ) 进行教学 ( 两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致 ) ，数学期终考试成绩茎叶图如下：
(1) 学校规定：成绩不低于 75 分的优秀，请填写下面的 2×2 联表，并判断有多大把握认为 “ 成绩优秀与教学方式有关 ” ．p
20. ly:Calibri; font-size:10.5pt\甲班 乙班 合计 优秀 a b 不优秀 c d 合计
附：参考公式及数据p
21. ly:Calibri; font-size:11.5pt\P(x 2 ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K 2 =
(2) 从两个班数学成绩不低于 90 分的同学中随机抽取 3 名，设 ξ 为抽取成绩不低于 95 分同学人数，求 ξ 的分布列和期望．
22. 已知函数
.（其中
；
上的最大值
）
(1) 当 a = 4 e , b =0 时，求证： (2) 若
．
23. 如图，椭圆
截得的线段长等于
原点
的直线 与 。
相交于点
，设
，求函数 h ( x ) 在区间
的离心率为
的短轴长。
，直线
与
， 轴被曲线 轴的交点为 分别与
，过坐标
相交于点
(1) 求 、 的方程；
；
的面积分别为
，若
，求
的最小值．
(2) 求证： (3) 记
24. 已知 （ 1 ）求 （ 2 ）令 （ 3 ）存在 的取值范围．
．
的单调区间；
，若 且
有两个不同的根，求 的取值范围； ，使
成立，求
2019学年湖北省武汉市高二下学期期中考试数学（理）试卷含答案及解析
