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理科数学试题附中版炎德·英才大联考湖南师大附中

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理科数学试题(附中版)-炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(二)

数 学(理科)

命题人:吴锦坤 张汝波 审题人:黄祖军

时量:120分钟 满分:150分

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)已知集合M={x|-2≤x≤2},N={x|y=1-x},那么M∩N=(B) (A){x|-2≤x〈1} (B){x|-2≤x≤1} (C){x|x〈-2} (D){x|x≤-2}

z

(2)已知i是虚数单位,复数z满足=i,则z的模是(C)

1-z12

(A)1 (B) (C) (D)2

22

(3)下列命题正确的是(C)

(A)x∈(0,+∞),x〈x (B)x∈(0,2),cos x〉0

(C)x∈(-1,0),2x2=3 (D)x∈(3,+∞),x2+5x-24=0

π?1

【解析】选项A不正确,如取x=,有x〉x. 因为当x∈??2,2?时,cos x〈0,所以选4项B不正确.当x∈(-1,0)时,x+2∈(1,2),2x2∈(2,4),所以选项C正确.由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以选项D不正确. 故选C.

(4)已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图,侧视图,俯视图都是边长为1的正方形,则该几何体的表面积为(C)

10+39+333(A) (B)3+ (C) (D)5+

4224

【解析】几何体为一个正方体割去了一个三棱锥后所得的几何体,结合数据得:S=3×1×19+313

+3××1×1+×(2)2=. 242

(5)运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于3,则t的取值范围为(B)

1111,+∞? (B)?,+∞? (C)?-∞,? (D)?-∞,? (A)?4?8??4??8???

【解析】依次运行程序框图中的语句可得,n=2,x=2t,a=1;n=4,x=4t,a=3;n1

=6,x=8t,a=3.此时结束循环,输出的ax=38t≥3,则8t≥1,t≥,故选B.

8

(6)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”,则概率P(A∪B)=(A)

7113(A) (B) (C) (D) 26145214

(7)若z=f(x,y)称为二次元函数,已知f(x,y)=ax+by,错误!则z=f(-1,1)的最大值等

于(B)

(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3

【解析】由题意可将题目转化为已知实数a,b满足的约束条件错误!求z=-a+b的最大值,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影所示,由图知,当直线z=-a+b经过点A(3,1)时,z取得最大值,为zmax=-3+1=-2.故选B.

(8)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a2|-a2.若x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为(B)

11111133-,? (B)?-,? (C)?-,? (D)?-,? (A)??44??22??33??33?(9)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示).若AP=λED+μAF,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是(B)

(A)[0,1] (B)[-1,1]

(C)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)[-1,0) 【解析】以A为坐标原点,AB、AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系,依题意得D(0,1),31?31?0,π?,,,ED=(-1,1),AF=?,?,E(1,0),C(1,1),B(2,0),F?设P(cos θ,sin θ),θ∈?22??22??2?31

-λ+μ,λ+μ?,错误!两式相减得2λ-μ依题意AP=λED+μAF,即(cos θ,sin θ)=?22??πππππ

θ-?,θ-∈?-,?,2sin?θ-?∈[-1,1]. =sin θ-cos θ=2sin??4??4?4?44?πππ

2x+?+2cos2?x+?-1,把函数f(x)的图象向右平移个单位,(10)已知函数f(x)=2sin?4???8?8π

0,?内的两根,则sin(x1+x2)的值为(A) 得到函数g(x)的图象,若x1,x2是g(x)-m=0在?2??

255525

(A) (B) (C)- (D)-

5555

πππ21

2x+?+cos?2x+?=5sin?2x+φ+?,其中cos φ=,sin φ=.【解析】f(x)=2sin?4?4?4????55π

将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到g(x)=5sin(2x+φ)的图象.由x1,x2是g(x)-m=0

8ππ

0,?内的两根,知方程5sin(2x+φ)-m=0在?0,?内有两个根,即直线y=m与y=5在??2??2?ππφπ

0,?内有两个交点,且x1,x2关于直线x=-对称,所以x1+x2=-sin(2x+φ)的图象在??2?422π25

-φ?=cos φ=φ,所以sin(x1+x2)=sin?. ?2?5

(11)若点P(x0,y0)为抛物线y2=4x上一点,过点P作两条直线PM,PN,分别与抛物线

相交于点M和点N,连接MN,若直线PM,PN,MN的斜率都存在且不为零,设其斜率分111

别为k1,k2,k3,则+-=(D)

k1k2k3

1y0(A)2y0 (B)2 (C) (D)

22

y0,y0?,【解析】设点M(x1,y1),N(x2,y2),因为点P(x0,y0)在抛物线y=4x上,所以P?4??

2

2

y0x-?,由错误!得y2-错误!y+错误!y0-y错误!=0,此方故直线PM的方程为y-y0=k1??4?2

(4-y0k1)244y1

程的两个根分别为y=y0,y=y1,y0+y1=,∴y1=-y0,x1==,

k1k144k21

2

44

-y0?-y0-?k?2?k1(4-y0k1)4(4-y0k2)4

M?,化简得,-y0?,同理可得N?,-y0?,k3=222k1k2?4k1??4k2?(4-y0k1)(4-y0k2)2-24k24k21

2

2

k3=

2k1k2111y0111y0,故=+-.∴+-=.

k3k1k22k1k2k322(k1+k2)-y0k1k2

(12)设曲线y=(ax-1)ex在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线在y=(1-x)ex在点B(x0,y2)

3

0,?,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为(D) 处的切线为l2.若存在x0∈??2?

333

,+∞? (C)?1,? (D)?1,? (A)[1,3] (B)??2??2??2?

【解析】函数y=(ax-1)ex的导数为y′=(ax+a-1)ex,

∴l1的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0,

--

函数y=(1-x)ex的导数为y′=(x-2)ex ∴l2的斜率为k2=(x0-2)e-x0, 由题设有k1·k2=-1从而有(ax0+a-1)ex0·(x0-2)e-x0=-1 ∴a(x20-x0-2)=x0-3, 3

0,?,得到x2∵存在x0∈?0-x0-2≠0, ?2?x0-3

∴a=2,

x0-x0-2又a′=

-(x0-1)(x0-5)

2, (x20-x0-2)

令导数大于0得1〈x0〈5,

x0-33

1,?上是增函数, 故a=2在(0,1)是减函数,在??2?x0-x0-20-33

x0=0时取得最大值为=;

0-0-22x0=1时取得最小值为1. 3

∴1≤a≤. 2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题,本大题共4小题,每小题5分,共20分. (13)已知f(2x+1)=3x-2,且f(a)=4,则a的值是 5 .

(14)若△ABC的内角满足sin A+2sin B=2sin C,则cos C的最小值是 【解析】由sin A+2sin B=2sin C得a+2b=2c,即c=

2

2

2

6-2 . 4

a+2b

, 2

1

a2+b2-(a+2b)2

4a+b-c6-23a1b2

cos C===·+·-≥.

2ab2ab8b4a44

(15)点D是直角△ABC斜边AB上一动点,AC=5,BC=4,将直角△ABC沿着CD翻折,

使△B′DC与△ADC构成直二面角,则翻折后AB′的最小值是 21 .

【解析】过点B′作B′E⊥CD于E,连结BE,AE, 设∠BCD=∠B′CD=α,

π

则有B′E=4sin α,CE =4cos α,∠ACE=-α.

2在△AEC中,由余弦定理得

π?

-α=25+16cos2α-40sin αcos α, AE2=25+16cos2α-40cos αcos?2??在△AEC中,由勾股定理得

AB2=AE2+B′E2=25+16cos2α-40sin αcos α+16sin2α=41-20sin 2α, π

所以当α=时,AB′取得最小值为21. 4

x2y2

(16)设A是双曲线2-2=1(a〉0,b〉0)在第一象限内的点,F为其右焦点,点A关于

abππ?原点O的对称点为B,若AF⊥BF,设∠ABF=α且α∈??12,6?,则双曲线离心率的取值范围是

[2,3+1] .

【解析】设左焦点为F′,令|AF|=m,|AF′|=n,

则|BF|=|AF′|=n,n-m=2a,所以|BF|-|AF|=2a.

因为AF⊥BF,所以|OA|=|OB|=|OF|=c,所以m2+n2=4c2, 即(m-n)2+2mn=4c2又因为S△ABF=2S△AOF

22

mn=2(c-a).

11

mn=2·c2sin 2α22

mn=2c2sin 2α, 1

e2=. 1-sin 2α

22

于是2c2sin 2α=2(c-a)得e2sin 2α=e2-1

ππ?113

,,所以sin 2α∈?,?,故e2=因为α∈?∈[2,4+23],故e∈?126?1-sin 2α?22?

[2,3+1].

三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

数列{an}中,an+2-2an+1+an=1,且a1=1,a2=3. (Ⅰ)设cn=an+1-an,求证数列{cn}为等差数列;

?1?

(Ⅱ)求数列?a?的前n项之和Sn.

?n?

【解析】(Ⅰ)由cn=an+1-an,

则cn+1-cn=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an=1(常数), c1=a2-a1=2,

理科数学试题附中版炎德·英才大联考湖南师大附中

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