理科数学试题(附中版)－炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(二)
数 学(理科)
命题人：吴锦坤 张汝波 审题人：黄祖军
时量：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|y＝1－x}，那么M∩N＝(B) (A){x|－2≤x〈1} (B){x|－2≤x≤1} (C){x|x〈－2} (D){x|x≤－2}
z
(2)已知i是虚数单位，复数z满足＝i，则z的模是(C)
1－z12
(A)1 (B) (C) (D)2
22
(3)下列命题正确的是(C)
(A)x∈(0，＋∞)，x〈x (B)x∈(0,2)，cos x〉0
＋
(C)x∈(－1,0),2x2＝3 (D)x∈(3，＋∞)，x2＋5x－24＝0
π?1
【解析】选项A不正确，如取x＝，有x〉x. 因为当x∈??2，2?时，cos x〈0，所以选4项B不正确.当x∈(－1,0)时，x＋2∈(1,2),2x2∈(2,4)，所以选项C正确.由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以选项D不正确. 故选C.
(4)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图，俯视图都是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为(C)
＋
10＋39＋333(A) (B)3＋ (C) (D)5＋
4224
【解析】几何体为一个正方体割去了一个三棱锥后所得的几何体，结合数据得：S＝3×1×19＋313
＋3××1×1＋×(2)2＝. 242
(5)运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为(B)
1111，＋∞? (B)?，＋∞? (C)?－∞，? (D)?－∞，? (A)?4?8??4??8???
【解析】依次运行程序框图中的语句可得，n＝2，x＝2t，a＝1；n＝4，x＝4t，a＝3；n1
＝6，x＝8t，a＝3.此时结束循环，输出的ax＝38t≥3，则8t≥1，t≥，故选B.
8
(6)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)＝(A)
7113(A) (B) (C) (D) 26145214
(7)若z＝f(x，y)称为二次元函数，已知f(x，y)＝ax＋by，错误!则z＝f(－1,1)的最大值等
于(B)
(A)2 (B)－2 (C)3 (D)－3
【解析】由题意可将题目转化为已知实数a，b满足的约束条件错误!求z＝－a＋b的最大值，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示，由图知，当直线z＝－a＋b经过点A(3,1)时，z取得最大值，为zmax＝－3＋1＝－2.故选B.
(8)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2.若x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(B)
11111133－，? (B)?－，? (C)?－，? (D)?－，? (A)??44??22??33??33?(9)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示).若AP＝λED＋μAF，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是(B)
(A)[0,1] (B)[－1,1]
(C)(－∞，－1)∪(1，＋∞) (D)[－1,0) 【解析】以A为坐标原点，AB、AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，依题意得D(0,1)，31?31?0，π?，，，ED＝(－1,1)，AF＝?，?，E(1,0)，C(1,1)，B(2,0)，F?设P(cos θ，sin θ)，θ∈?22??22??2?31
－λ＋μ，λ＋μ?，错误!两式相减得2λ－μ依题意AP＝λED＋μAF，即(cos θ，sin θ)＝?22??πππππ
θ－?，θ－∈?－，?，2sin?θ－?∈[－1,1]. ＝sin θ－cos θ＝2sin??4??4?4?44?πππ
2x＋?＋2cos2?x＋?－1，把函数f(x)的图象向右平移个单位，(10)已知函数f(x)＝2sin?4???8?8π
0，?内的两根，则sin(x1＋x2)的值为(A) 得到函数g(x)的图象，若x1，x2是g(x)－m＝0在?2??
255525
(A) (B) (C)－ (D)－
5555
πππ21
2x＋?＋cos?2x＋?＝5sin?2x＋φ＋?，其中cos φ＝，sin φ＝.【解析】f(x)＝2sin?4?4?4????55π
将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝5sin(2x＋φ)的图象.由x1，x2是g(x)－m＝0
8ππ
0，?内的两根，知方程5sin(2x＋φ)－m＝0在?0，?内有两个根，即直线y＝m与y＝5在??2??2?ππφπ
0，?内有两个交点，且x1，x2关于直线x＝－对称，所以x1＋x2＝－sin(2x＋φ)的图象在??2?422π25
－φ?＝cos φ＝φ，所以sin(x1＋x2)＝sin?. ?2?5
(11)若点P(x0，y0)为抛物线y2＝4x上一点，过点P作两条直线PM，PN，分别与抛物线
相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分111
别为k1，k2，k3，则＋－＝(D)
k1k2k3
1y0(A)2y0 (B)2 (C) (D)
22
y0，y0?，【解析】设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点P(x0，y0)在抛物线y＝4x上，所以P?4??
2
2
y0x－?，由错误!得y2－错误!y＋错误!y0－y错误!＝0，此方故直线PM的方程为y－y0＝k1??4?2
(4－y0k1)244y1
程的两个根分别为y＝y0，y＝y1，y0＋y1＝，∴y1＝－y0，x1＝＝，
k1k144k21
2
44
－y0?－y0－?k?2?k1(4－y0k1)4(4－y0k2)4
M?，化简得，－y0?，同理可得N?，－y0?，k3＝222k1k2?4k1??4k2?(4－y0k1)(4－y0k2)2－24k24k21
2
2
k3＝
2k1k2111y0111y0，故＝＋－.∴＋－＝.
k3k1k22k1k2k322(k1＋k2)－y0k1k2
(12)设曲线y＝(ax－1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线在y＝(1－x)ex在点B(x0，y2)
－
3
0，?，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为(D) 处的切线为l2.若存在x0∈??2?
333
，＋∞? (C)?1，? (D)?1，? (A)[1,3] (B)??2??2??2?
【解析】函数y＝(ax－1)ex的导数为y′＝(ax＋a－1)ex，
∴l1的斜率为k1＝(ax0＋a－1)ex0，
－－
函数y＝(1－x)ex的导数为y′＝(x－2)ex ∴l2的斜率为k2＝(x0－2)e－x0， 由题设有k1·k2＝－1从而有(ax0＋a－1)ex0·(x0－2)e－x0＝－1 ∴a(x20－x0－2)＝x0－3， 3
0，?，得到x2∵存在x0∈?0－x0－2≠0， ?2?x0－3
∴a＝2，
x0－x0－2又a′＝
－(x0－1)(x0－5)
2， (x20－x0－2)
令导数大于0得1〈x0〈5，
x0－33
1，?上是增函数， 故a＝2在(0,1)是减函数，在??2?x0－x0－20－33
x0＝0时取得最大值为＝；
0－0－22x0＝1时取得最小值为1. 3
∴1≤a≤. 2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分. (13)已知f(2x＋1)＝3x－2，且f(a)＝4，则a的值是 5 .
(14)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是 【解析】由sin A＋2sin B＝2sin C得a＋2b＝2c，即c＝
2
2
2
6－2 . 4
a＋2b
， 2
1
a2＋b2－(a＋2b)2
4a＋b－c6－23a1b2
cos C＝＝＝·＋·－≥.
2ab2ab8b4a44
(15)点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC＝5，BC＝4，将直角△ABC沿着CD翻折，
使△B′DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB′的最小值是 21 .
【解析】过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE， 设∠BCD＝∠B′CD＝α，
π
则有B′E＝4sin α，CE ＝4cos α，∠ACE＝－α.
2在△AEC中，由余弦定理得
π?
－α＝25＋16cos2α－40sin αcos α， AE2＝25＋16cos2α－40cos αcos?2??在△AEC中，由勾股定理得
AB2＝AE2＋B′E2＝25＋16cos2α－40sin αcos α＋16sin2α＝41－20sin 2α， π
所以当α＝时，AB′取得最小值为21. 4
x2y2
(16)设A是双曲线2－2＝1(a〉0，b〉0)在第一象限内的点，F为其右焦点，点A关于
abππ?原点O的对称点为B，若AF⊥BF，设∠ABF＝α且α∈??12，6?，则双曲线离心率的取值范围是
[2，3＋1] .
【解析】设左焦点为F′，令|AF|＝m，|AF′|＝n，
则|BF|＝|AF′|＝n，n－m＝2a，所以|BF|－|AF|＝2a.
因为AF⊥BF，所以|OA|＝|OB|＝|OF|＝c，所以m2＋n2＝4c2， 即(m－n)2＋2mn＝4c2又因为S△ABF＝2S△AOF
22
mn＝2(c－a).
11
mn＝2·c2sin 2α22
mn＝2c2sin 2α， 1
e2＝. 1－sin 2α
22
于是2c2sin 2α＝2(c－a)得e2sin 2α＝e2－1
ππ?113
，，所以sin 2α∈?，?，故e2＝因为α∈?∈[2，4＋23]，故e∈?126?1－sin 2α?22?
[2，3＋1].
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
数列{an}中，an＋2－2an＋1＋an＝1，且a1＝1，a2＝3. (Ⅰ)设cn＝an＋1－an，求证数列{cn}为等差数列；
?1?
(Ⅱ)求数列?a?的前n项之和Sn.
?n?
【解析】(Ⅰ)由cn＝an＋1－an，
则cn＋1－cn＝(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝an＋2－2an＋1＋an＝1(常数)， c1＝a2－a1＝2，
理科数学试题附中版炎德·英才大联考湖南师大附中
