10＋7满分练(4)
2＋ai
1．已知为纯虚数，a∈R，则(a＋i)i2 019的虚部为( )
1－iA．－1 C．－2 答案 C
2＋ai(1＋i)(2＋ai)2＋ai＋2i＋ai22－aa＋2
解析 ∵a∈R，且复数z＝＝＝＝＋i为纯虚数，
2221－i(1＋i)(1－i)∴a＝2，
∴(a＋i)i2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i， ∴(a＋i)i2 019的虚部为－2.
???2x－5≥12．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<1}，B＝?x?x－1???
B．1 D．2
??
?，则A∩(?UB)等于( ) ??
A．{x|1 B．{x|1 解析 由题意得A＝{x||x－1|<1}＝{x|－1 ???? ????x－4???2x－5≥1? ?＝?x?≥0?＝{x|x<1或x≥4}， ?x－1??????x－1? ∴?UB＝{x|1≤x<4}， ∴A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}． 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a11＝a9＋7，则S25等于( ) 145175 A. B．145 C. D．175 22答案 D 解析 设等差数列{an}的公差为d， ∵2a11＝a9＋7， ∴2(a1＋10d)＝a1＋8d＋7，化为a1＋12d＝7＝a13. 25(a1＋a25)则S25＝＝25a13＝175. 2 4．设m，n为两个非零的空间向量，则“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析 当存在正数λ，使得m＝λn时，向量m，n为同向共线向量，所以m·n>0，充分性成立；当m·n>0时，得到向量m，n的夹角小于90°，不一定得到向量m，n为同向共线向量，即不一定得到存在正数λ，使得m＝λn，所以必要性不成立．综上所述，“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的充分不必要条件，故选A. 5．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个三角形，这些三角形的面积之和为( ) 1＋33＋33A．1 B. C. D. 222答案 C 解析 由三视图得该几何体为一个底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱和一个底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的三棱锥的组合体，则其表面中共有2个三角形，其中1个是直角边长为1的等腰直角三角形，1个是边长为2的等边三角形，1＋313 则这2个三角形的面积之和为×1×1＋×(2)2＝，故选C. 242 6．甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( ) A．60种 B．54种 C．48种 D．24种 答案 D 解析 分两类求解．①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两 22 组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C1②甲与另外一人为一组到除瓷器2C3A2＝12(种)；12口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C1由分类加3C2A2＝12(种)． 法计数原理，可得总的方案数为24. 7．已知函数f(x)＝3sin(3x＋φ)，x∈[0，π]，则y＝f(x)的图象与直线y＝2的交点最多有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案 C 2π 解析 易得函数f(x)的周期为T＝，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象，则要使函 3 数f(x)在[0，π]内与直线y＝2的交点个数最多，则应有函数f(x)的图象经过点(0,2)，对于图1，易得点A的横坐标为xA＝ 2π ，点A关于点B的对称点是C，点C关于对称轴l的对称点3 D的横坐标为π，则由图易得此时函数f(x)的图象与直线y＝2在[0，π]内有4个交点． 图1 2πTπ 对于图2，易得点E的横坐标xE＝，EF>＝，则由图易得此时函数f(x)的图象与直线y 323＝2在[0，π]内有3个交点． 图2 综上所述，函数f(x)的图象与直线y＝2的交点最多有4个，故选C. 8．抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为直线l，过点M(4,4)作直线l的垂线，垂足为H，则∠FMH的角平分线所在直线的斜率是( ) A．1 1 C. 3答案 B 解析 由题意可知点M在抛物线上，则|MH|＝|MF|，∴△MHF为等腰三角形，H(－1,4)，F(1,0)， ∴线段HF的中点为D(0,2)，且MD平分∠HMF， 4－21 ∴kMD＝＝，故选B. 4－02 9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过棱C1D1上一点的直线分别交直线AA1，BC于点M，N，则线段MN的最小长度为( ) A．2 32C. 2答案 D B．4 D．3 1B. 21D. 4 解析 如图，在棱C1D1上任取一点P，则点P与直线BC确定平面PBC，故平面PBC交直线AA1于点M，直线MP交直线BC于点N，设AM＝x，BN＝y，则x>1，y>1，连接MB交1x－1 A1B1于点Q，连接PQ，根据面面平行的性质定理可得PQ∥BN，由三角形相似，得＝， yx 2222 112?x＋y?11xy222222 ＋?(x＋y)＋1＝2＋2＋即x＋y＝xy，所以＋＝1，所以|MN|＝x＋y＋1＝?＋?xy?xyyxxy 3≥9，当且仅当x＝y＝2时取等号，即线段MN的最小长度为3，故选D. 10．已知函数f(x)＝2x－e2x(e为自然对数的底数)，g(x)＝mx＋1(m∈R)，若对于任意的x1∈[－1,1]，总存在x0∈[－1,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数m的取值范围为( ) A．(－∞，1－e2]∪[e2－1，＋∞) B．[1－e2，e2－1] C．(－∞，e2－1]∪[1－e2，＋∞) － － D．[e2－1,1－e2] － － 答案 A 解析 ∵f′(x)＝2－2e2x，∴f(x)在区间[－1,0)上为增函数，在区间[0,1]上为减函数． ∵f(－1)－f(1)＝(－2－e2)－(2－e2)＝e2－e2－4>0，∴f(－1)>f(1)，又f(0)＝－1，则函数f(x) － － 在区间[－1,1]上的值域为[2－e2，－1]． 当m>0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为[－m＋1，m＋1]． ?－m＋1≤2－e2，? 依题意可知，?得m≥e2－1， ??m＋1≥－1， 当m＝0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为{1}，不符合题意； 当m<0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为[m＋1，－m＋1]． 2??m＋1≤2－e， 依题意可知，?得m≤1－e2. ?－m＋1≥－1，? 综上可知，实数m的取值范围为(－∞，1－e2]∪[e2－1，＋∞)．故选A. 11．计算2log132－(2)2＝________，(log32＋log18)·log49＝________. － 31 答案 － －2 6 log132解析 2111111－ log－(2)2＝－＝－；(log32＋log18)·log49＝log3·＝log3＝－2. 1932649 3412．随机变量X的分布列如表所示，则E(X)＝_____，若Y＝2X＋1，则E(Y)＝_____. X P 52 答案 － － 63 111 解析 由表可知，E(X)＝－2×＋0×＋1× 236552 ＝－.若Y＝2X＋1，则E(Y)＝2E(X)＋1＝－＋1＝－. 633x－3y＋4≥0，?? 13．已知x，y满足约束条件?x－2≤0， ??x＋y≥0，答案 8 解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方． －2 1 20 1 31 1 6 x，y∈R，则x2＋y2的最大值为_______． 由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，－2)，B(2,2)，又OA＝OB＝22， ∴(x2＋y2)max＝8. 14．已知多项式(x2－2x＋2)x7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a1＝________，a0＋a1＋a4＋a5＋a8＋a9＝________. 答案 7 128 解析 由右式知(x2－2x＋2)x7按t＝x－1展开，由二项式定理得，当k＝0,1时，(t2＋1)(1＋ k22kk t)7的通项为Ck(1＋t)7的通项为(Ck7t；当k＝2,3，…，7时，(t＋1)·7＋C7)t；当k＝8,9时， － 2k01677(t2＋1)·(1＋t)7的通项为Ck7t.故a1＝7，a0＋a1＋a4＋a5＋a8＋a9＝C7＋C7＋…＋C7＋C7＝2＝128. － 15．在△ABC中，AB＝2AC，点D为角A的平分线上一点，且AD＝3，DC⊥AD.若BD＝7 CD，则∠BAC＝______，△BCD的面积是________． 答案 60° 33 2 3 解析 如图，设AC＝x，CD＝y，∠CAD＝θ，则在Rt△ACD中，y＝3tan θ，x＝，在cos θ△ABD中，由余弦定理得4x2＋9－12xcos θ＝7y2，解得θ＝30°，故∠BAC＝2θ＝60°.AC＝x＝23，AB＝2x＝43，根据余弦定理可得BC＝6，因为BC2＋AC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，作DE⊥AC交AC于点E，则EC＝ 3133 ，所以△BCD的面积为S＝BC·CE＝. 222 16．若有关于x的不等式ex(x2＋ax＋a)≤ea在[a，＋∞)上有解，则正数a的取值范围是________． 1 0，? 答案 ??2?解析 令f(x)＝ex(x2＋ax＋a)，x∈[a，＋∞)，不等式ex(x2＋ax＋a)≤ea在[a，＋∞)上有解，即f(x)min≤ea. f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋2a]＝ex(x＋2)(x＋a)，a>0，则f′(x)>0在[a，＋∞)上恒成立，则f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝ea(2a2＋a)≤ea，所以2a2＋a－1≤0，解得－111 0，?. 1≤a≤，又a>0，则0 →→→→→→→→→ 17．已知平面向量OA，OB，OC满足|OA|＝1，|OB|＝2，|OC|＝3，OB⊥OC，若z＝λOB＋(1→→ －λ)OC(0<λ<1)，则|z－OA|的最小值是________． 答案 613 －1 13 → 解析 如图，由题意知z的终点P在线段BC上(不含端点)，OA的终点A为单位圆圆周上一xy→ 点，则|z－OA|为A，P两点间的距离．又BC：＋＝1(0 32原点O到BC的距离d＝ 6613613→＝，故当OP⊥BC时，有|z－OA|min＝－1. 131313
2020届二轮（文科数学）10+7满分练(4)专题卷（全国通用）
