依照定义
jx??nevx 〔5〕 jy??nevy 〔6〕
ne2?E jx??
m(1??2?2)ne2??2E jy?? 22m(1???)可见在垂直于电场的方向上也产生电流。 评分标准：此题共15分
其中〔1〕式与〔2〕式各占2分，其中ax?ay?0各占2分，〔3〕式与〔4〕式各占1分；〔5〕式〔6〕式共占3分；〔7〕式与〔8〕各占1分。
六、〔25分〕如图A所示的两块平行薄板，由理想导体构成，板间距为d，y方向无限延伸。两板间沿垂直于y方向传播的电磁波沿x正方向以行波形式传播，其电场可表述为:
z
x
z
y O 图A
O
x 图B
E?E0sin(2?z)sin(2?x??t)
?z?x式中?为圆频率，t为时刻，?z,?x为待定参量，这种结构的组合能够制成有用的微波发射天线，用来代替传统的庞大抛物面天线，能够大幅度降低天线成本。 1.证明?z只能取如下值：?z?2d,m?1,2,3………….. m2.当m=1时，求?z。
3.如将一系列板间距相等而长度不等的理想导体相关于沿y方向无限延伸的线状波源〔与纸面交与O点〕平行对称叠排，板的右端对齐，面板的长度有一定的分布〔此结构与与纸面相交的截面图如图B所示〕，那么在这一结构的右端可输出沿x方向传播的平面电磁波。试给出满足这一要求的板堆在xoz截面内左侧边缘〔如图b所示〕所满足的曲线方程。〔取m=1，波源到板堆左端的水平距离为L〕. 参考答案：
1．两板间的电磁波的电场强度E为
E?E0sin(2?z?z)sin(2?x?x??t) 〔1〕
由因此理想导体板，当z=0和d时应有E=0。从而 2?d?z?m?,?z?2d,m?1,2,3...... 〔2〕 m2.关于〔1〕式描述的电磁波，能够通过 sin?sin??表达为两列平面电磁波的叠加，
1[cos(???)?cos(???)] 〔3〕 2E?E1?E2
E1?12?x2?zE0cos(???t) 〔4〕 2?x?z12?x2?zE0cos(???t??) 2?x?z E2?式中两列电磁波的波长?0都可表达为
?1??1??1???? ??????????? 〔5〕
??0???x???z??2?c?当m=1, ?z?2d,
?z?22221?2?c?(12d)2 (6)
3．因此,x方向的波速vx为
vx?(?2?)?x?c??c?1?????d?2 (7)
如下图，设板堆左端任一点P到波源的距离OP=R，OP与水平线的交角为?。要使得输出为
沿水平方向的平面波，应满足， L由此可得，
c?RL?Rcos?? 〔8〕 cvx??c???c?R?L(1?1??)(1?1????cos?)??d???d? 〔9〕
22P
z R ? x
O
评分标准：此题共25分
第一小题5分，第二小题10分，第三小题10分；
其中〔2〕式占5分，〔5〕式占6分，(6)式占4分；〔8〕式占6分。
七、〔35分〕1.在经典的氢原子模型中，电子围绕原子核做圆周运动，电子的向心力来自于核电场的作用。但是，经典的电磁理论讲明电子做加速运动会发射电磁波，其发射功率可表
e2a2示为〔拉莫尔公式〕：P?，其中a 为电子的加速度，c为真空光速，36?c?0?0?14?k=8.854?10-12 F?m-1,电子电荷量绝对值e=1.602?10-19C。假设不考虑相对论效应，
试估量在经典模型中氢原子的寿命? 。〔实验测得氢原子的结合能是EH?13.6eV，电子
?31的静止质量m0?9.109?10kg〕
2.带点粒子加速后发射的电磁波也有重要的应用价值。当代科学研究中应用广泛的同步辐射即是由以接近光速运动的电子在磁场中作曲线运动改变运动方向时所产生的电磁辐射，电子储备环是同步辐射光源装置的核心，储备环中的电子束团通过偏转磁铁等装置产生高性能的同步辐射光。上海光源是近年来建成的第三代同步辐射光源，它的部分工作参数如下：环内电子能量E?3.50GeV,电子束团流强I?300mA，周长L=432m,单元数〔装有偏转磁铁的弯道数量〕N =20，偏转磁铁磁场的磁感应强度B=1.27T。使运算该设备平均每个光口的辐射总功率P0 。
〔在电子接近光速时，假设动量不变，牛顿第二定律仍旧成立，但拉莫尔公式不再适用，相
Ee2a224mc??应的公式变化为P?，其中，E为电子总能量，为电子的静止??023m0c6?c?0能量。〕
3.由于储备环内的电子的速度接近光速，因此同步辐射是一个沿电子轨道的切线方向的光锥，光锥的半顶角为1 ，由此可见电子的能量越高，方向性越好。试运算：上述设备在
?辐射方向上某点同意到的单个电子产生的辐射连续时刻?T。 〔此题结果均请以三位有效数字表示。〕 参考解答1：
由方程 F?ma a?v2r F?1e24??2 0r可推导出电子的总能量为
U??e28??r 00由条件EH??13.6eV推导出氢原子的轨道半径和运动速度分不为：
r?110?5.29?10m v60?2.19?10m/s 由拉莫尔公式得初始发射功率
P?e2a2e6 6?c3??3c3?324 096?0mr0在微小的时刻间隔?t中，辐射使电子的总能量U减少
?U??P?t U??e211?e2 8??(?)?2?r 0r??rr8??0r其中?r为电子轨道半径的减少量，由此可导出时刻和半径r的变化方程：
?t?12?2c3?2220mr0e4?r?A?4?r2?r, 3?c322其中A??0me4。
1〕
2〕
3〕 〔4〕
〔5〕 〔6〕
〔7〕 〔8〕
〔9〕 〔10〕 〔〔 〔 构造一个半径为r0 的球体，那么4?r?r即为距离球心为r的薄球壳的体积，在r0到0的求和过程中能够算出球的体积为?r0。对应此题情形解出电子轨道从r0减少到0所需的时刻为
2234?2c3?0mr0 ????t? 〔11〕 4e2433代入数据，得：
??1.56?10?11s 〔12〕
2：
关于高能电子有 v?c (1) E?mc (2)
2v2 a? (3)
r F?eBc (4) F?ma (5) 以上条件能够得出电子的偏转半径： R?储存环中的电子数量：
n?E (6) ecBQI?t (7) ?ee其中?t为电子旋转一圈所花费的时刻。由〔3〕式及辐射条件可得每个电子每圈缺失的总能
量为〔电子在直道上不辐射能量〕： Eneue2a2?42?Re2?4 〔8〕 ???36?c?0c3?0R由〔7〕〔8〕得到储备环中的电子消耗的总功率为： Putal出光口的功率为：
P0?nEneuIe?4???4.34?105W (9)
?t3?0RPutal?2.17?104W (10) N3:
在电子轨道上某点的切线方向上的某一点P处观看，观看者只能在一个专门短时刻间隔内看到电子发出的辐射，这段时刻是电子地速度方向改变圆锥顶角〔即2〕的角度所对应的
?光到达同意位置的时刻间隔。在这段时刻内电子移动的距离为
2020第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准答案
