2020第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准
答案
一、填空题〔每题5分，共20分〕
1.某光滑曲面由曲线y?f(x)绕竖直y轴旋转一周形成，一自然半径为a、质量为m、劲度系数为k的弹性圆环置于该曲面之上，能水安静止于任意高度，那么曲线方程为 。
2?2(x?a)2〔C为任意常数〕。 参考答案：y?C?mg2.如下图的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模型〔可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来〕，假设该结构中每条棱均由电阻R的材料构成，那么AB节点间的等效电阻为 。 参考答案：
7R 123.某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm的光，它是由5000个小眼构成的复眼，小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上，小眼构造专门精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置，叫角膜镜；下面连着圆锥形的透亮晶体，使得外部入射的光线汇聚到圆锥顶点连接的感光细胞上〔入射进入一个小眼的光线可不能透过锥壁进入其他小眼〕，从而造成一个〝影像点〞〔像素〕；所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像。假设将复眼看作球面圆锥，球面半径r?1.5mm，那么蜜蜂小眼角膜镜的最正确直径d约为〔请给出两位有效数字〕 。 参考答案：30?m
4.开路电压U0与短路电流ISC是半导体p-n结光电池的两个重要技术指标，试给出两者之间的关系表达式：U0= ，式中各符号代表的物理量分不为 。 参考答案：U0??kT?ISCln??1?，式中e为电子电量的绝对值，k为波尔兹曼常量，T为e?IS?绝对温度，IS为p-n结的反向饱和电流。
评分标准：此题共20分。
第1、2题每题填对均得5分，第3题只要答案在27-30?m之间即得5分，否那么0分。第4题第一空格占4分，第二空格占1分。
二、〔15分〕天体或微观系统的运动可借助运算机动态模拟软件直观显示。这涉及几何尺寸的按比例缩放。为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动时刻也应缩放。 1.在牛顿力学框架中，设质点在力场F(r)中作轨道运动，且有F(?r)??F(r)，k为常
k数， r为位矢。假设几何尺寸按比率? 缩放显示，确定运行时刻的缩放率?。 2.由此证明，行星绕太阳轨道运动周期的平方与轨道几何尺寸的立方成正比。 参考答案
1.设位矢、时刻缩放分不为r??r,t??t,故速度、加速度满足关系
//?r/??r?v?lim?lim?v 〔1〕 /?t/?0?t??t?0?t?/?v/??v?a?lim?lim?2v (2) /2?t?0?t/?0?t??t?/缩放前后质点均满足牛顿运动方程，即
ma?F(r) (3) ma?F(r) (4) 利用〔2〕式及F(?r)??F(r)，〔4〕式化简为 ma??对比〔3〕式，得
k?1k//?2F(r) 〔5〕
k?12???2.万有引力场中，有k?2，设想轨道尺寸按
/ 〔6〕
???l 〔7〕 缩放，那么周期按
??????? 〔8〕 缩放，故有
/12?/2l/3??2l3 〔9〕
评分标准： 此题共15分
第一小题占10分，正确得出〔6〕式得得10分，其中正确得出〔5〕式得5分。 第二小题占5分。正确得出〔9〕式得5分。 y 三、〔20分〕在水平面上有两根垂直相交的内壁光滑的连通细管，管内放置两个质量均为m、电荷量均为q的同号带点质点A和B。初始时，质点A至两管交点O的距离为d，质点B位于交点O
O B u0 A 处，速度相互垂直，方向如下图，大小
x
u0 d kq2均为u0?，k为静电力常量。求在以后的运动中，它们之间的最小距离。
md
参考答案：
两质点的相对位矢为r?rA?rB，记其单位矢量为er?r。由于质点约束在管内运动，r所受合力必定沿运动方向，即静电力沿运动方向的分力，两质点运动方程
kq2maA??2(er?i)i
rkq2maB?2(er?j)j 〔1〕
r相减可得
kq2 ma?2er 〔2〕
r其中a?aB?aA为B相关于A的加速度。〔2〕式讲明，B相关于A的运动即力心固定之库仑势场中质点的m运动，其电势能为：
kq2 U?2 (3)
r中心力场中运动质点的角动量、能量守恒。此处角动量与能量均应为B相对A的运动的值，可由初始条件定出：
kq2 L??mdi?(?u0j?u0i)?md 〔4〕
md1kq2kq22?2 E?m(?u0j?u0i)? 〔5〕
2dd所求量即近力心点到力心的距离rm，该点速度um必与矢径rmer垂直，故有：
kq2 mrmum?md (6)
md
2020第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准答案
