第1届国际数学奥林匹克(IMO)
第1届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程
a cosx + b cos x + c = 0,
试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根及原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；
（b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A及B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
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6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x：
4x/(1 - √(1 + 2x)) < 2x + 9
3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令
为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到
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BC边的高长为h，求证：
tan
= 4nh/(an - a).
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4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X
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是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。
a. b.
求XY中点的轨迹；
求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。
6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。 (a). 求证：V1 不等于 V2 ；
(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得 角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。
第3届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 设a、b是常数，解方程组
x + y + z = a; x + y + z = b; xy=z
并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？
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