等差等比数列练习题（含答案）以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列；

2°.通项公式：an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22an?1?q（常数），则{an}称等比数列；2°.通项公式：an②等比数列：1°.定义若数列{an}满足an?a1qn?1?akqn?ka1?anqa1(1?qn)?(q?1),当q=1时Sn?na1. ;3°.前n项和公式：Sn?1?q1?q2．简单性质：

①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,

1°.若{an}是等差数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2°.若{an}是等比数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??. ②中项及性质：

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A?a?b; 22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G??ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p?q?r?s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap?aq?ar?as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap?aq?ar?as; ④顺次n项和性质：

1°.若{an}是公差为d的等差数列，则?a,?a,?akkk?1k?n?12nk?2n?13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数列；

2°. 若{an}是公差为q的等比数列，则偶数时这个结论不成立）

⑤若{an}是等比数列，

?a,?a,?ak?1k?n?1k?2n?1k组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为

则顺次n项的乘积：a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比这qn的等比数列.

2⑥若{an}是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数，则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶

2数项的和）；

2°.若n为偶数，则S偶?S奇?nd. 2（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或

a，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为q“a,a?m,a?2m,a?3m(或a?3m,a?m,a?m,a?3m);”④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq(或23aa3,?,aq,?aq),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 3qq[例1]解答下述问题：

111,,成等差数列，求证： abcb?cc?aa?b（1）成等差数列； ,,abcbbb（2）a?,?,c?成等比数列.

222（Ⅰ）已知

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

112a?c2①c ),?????2ac?b(a?acbacb②

22b?ca?bbc?c?a?abb(a?c)?a2?c2(1)????acacac2(a?c)22(a?c)??.b(a?c)b

b?cc?aa?b?,,成等差数列;abcbbbb2b(2)(a?)(c?)?ac?(a?c)??(?)2,22242bbb?a?,?,c?成等比数列.222?[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.

① （Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为

1282，求项数n. ②

[解析]设公比为q,?n?12a1a3a5?an1024??42

a2a4?an?11282(1)

35252?a1?q?42而a1a2a3?an?1024?1282?2?(a1?q?n?1n2352?a1?q3521?2?3??(n?1)?2352)?2,将(1)代入得(2)n?2,

5n35?,得n?7.22（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

ak1,ak2,?,akn恰为等比数列,其中k1?1,k2?5,k3?17,

求数列{kn}的前n项和.

[解析]?a1,a5,a17成等比数列,?a5?a1?a17,

2?(a1?4d)2?a1?(a1?16d)?d(a1?2d)?0?d?0,?a1?2d,?数列{akn}的公比q?a5a1?4d??3,a1a1①②

?akn?a1?3n?1?2d?3n?1而akn?a1?(kn?1)d?2d?(kn?1)d由①，② 得kn?2?3n?1?1,3n?1{kn}的前n项和Sn?2??n?3n?n?1.3?1[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有

22???(a?d)(a?d?32)?a?d?32d?32a?0???22??(a?4)?(a?d)(a?d)??8a?16?d826?3d2?32d?64?0,?d?8或d?,得a?10或,

39226338?原三数为2,10,50或,,.999（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为a?15,a?5,a?5,a?15(a?15),

?(a?152)?(a?5)2?(a?5)2?(a?15)2?(2m)2(m?N?)?4a2?500?4m2?(m?a)(m?a)?125,?125?1?125?5?25,?m?a与m?a均为正整数,且m?a?m?a,?m?a?1?m?a?2?????m?a?125?m?a?25解得a?62或a?12(不合),?所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列练习题

一、 选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）

（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 2.、在等差数列

（A）an?an?中，a1?4,且a1,a5,a13成等比数列，则?an?的通项公式为 （ ）

?3n?1 （B）an?n?3 （C）an?3n?1或an?4 （D）an?n?3或an?4

3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则

ac?的值为 （ ） xy（A）

1 （B）?2 （C）2 （D） 不确定 24、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，

y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数（ ）

（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列 （C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列

?an?的前n项和为Sn,S2n?1?4n2?2n,则此数列的通项公式为 （ ）

?2n?2 （B）an?8n?2 （C）an?2n?1 （D）an?n2?n

（A）an6、已知(z?x)2?4(x?y)(y?z)，则 （ ）

（A）x,y,z成等差数列 （B）x,y,z成等比数列 （C）

111111,,成等差数列 （D）,,成等比数列 xyzxyz7、数列

?an?的前n项和Sn?an?1，则关于数列?an?的下列说法中，正确的个数有 （ ）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

8、数列1

1111,3,5,7,?,前n项和为 （ ） 24816（A）n2?111111222 （B） （C） （D） ?1n??n?n??1n?n??2n2n?122n2n?129、若两个等差数列

?an?、?bn?的前n项和分别为An 、Bn，且满足

87 （C）

An4n?2?Bn5n?5

，则

a5?a13b5?b13的值为 （ ）

（A）

10、已知数列

79 （B）

197 （D）208?an?的前n项和为Sn?an?的通项公式an?n2?5n?2,则数列?an?的前10项和为 （ ）

（A）56 （B）58 （C）62 （D）60

11、已知数列

?n?5为, 从?an?中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列

的前n项和为 （ ）

n(3n?13)3n?10n?33n?1?10n?3n（A） （B）3?5 （C） （D）

22212、下列命题中是真命题的是 ( )

A．数列

?an?是等差数列的充要条件是an?an?的前n项和为Sn?pn?q(p?0)

B．已知一个数列C．数列

?an2?bn?a,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 ?abn?1

?an?是等比数列的充要条件an?an?的前n项和SnD．如果一个数列二、填空题

?abn?c(a?0,b?0,b?1),则此数列是等比数列的充要条件是a?c?0

13、各项都是正数的等比数列

?an?，公比q?1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=

a1?a5?a17a2?a6?a18=

14、已知等差数列

?an?，公差d?0,a1,a5,a17成等比数列，则

1?1?an,则an= 415、已知数列

?an?满足Sn16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列

18、已知等差数列

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知 21、数列

?an?是公差d不为零的等差数列，数列?ab?是公比为q的等比数列，b1?1,b2n?10,b3?46 ，求公比q及bn。

?an?的公差与等比数列?bn?的公比相等，且都等于d(d?0,d?1) ,a1?b1 ，a3?3b3,a5?5b5,求an,bn。

?an?为等比数列，a3?2,a2?a4?20，求?an?的通项式。

3?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?

（Ⅰ）求

?an?的通项公式；

?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn

（Ⅱ）等差数列

22、已知数列

?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*). ?an?的通项公式； ?bn?满足4b?1.4b?1...4b?1?(an?1)b(n?N?)，证明：?bn?是等差数列；

12nn（I）求数列

（II）若数列

数列综合题

一、选择题

题号 1 答案 二、 填空题 13.

B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D 1?52641n 14. 15. (?) 16. ?63 22933三、解答题

17.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d

由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1 ∴bn=3·4n-1-2

18.∴ a3=3b3 , ?a1+2d=3a1d2 , ?a1(1-3d2)=-2d ① ?a5=5b5, ?a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ②

555n-1 ②1?5d41n-12=1或d2=55 ,得=2，∴ d,由题意，d=,a=-。∴a=a+(n-1)d=(n-6) b=ad=-·()1n1n12①55551?3d19.设这四个数为

a,a,aq,2aq?a q①?a·a?aq?216?则?q 由①，得a3=216,a=6 ③ ?a?aq?(3aq?a)?36②?③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18 a32

20.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q

qq2201

所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,

q33

11－18－

当q1=, a1=18.所以 an=18×()n1=n－1 = 2×33n.

333

22－

当q=3时, a1= , 所以an= ×3n－1=2×3n3.

99

21.解：(I)由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n?2?，两式相减得

an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?

又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列

∴an?1n?3

（Ⅱ）设?bn?的公差为d

由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5 故可设b1?5?d,b3?5?d 又a1?1,a2?3,a3?9

由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3?2 解得d1?2,d2?10

∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2

∴T1?n?3n?n?n??2?n22?2n 22（I）：Qa*n?1?2an?1(n?N),

?an?1?1?2(an?1),

??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。 ?an?1?2n.

即 a2*n?2?1(n?N).

（II）证法一：Q4b1?14b2?1...4bn?1?(abnn?1).

?4(b1?b2?...?bn)?n?2nbn.

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ①

②

②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,

③

nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.

④

④－③，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,

即 bn?2?2bn?1?bn?0,

?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),

??bn?是等差数列。