圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第7章实数的完备性7.1复习笔记一、关于实数集完备性的基本定理1．区间套定理（1）定义区间列{[an,bn]}具有如下性质，则称为闭区间套，或简称区间套：①[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2...：②lim(bn?an)?0，n???
（2）区间套定理若{[an,bn]}是一个区间套．则在实数系中存在惟一的一点?，使得??[an,bn]，n?1,2,...，即an???bn,n?1,2,...
（3）推论若??[an,bn](n?1,2,...)是区间套{[an,bn]}所确定的点，则对任给的??0，存在N?0，使得当n?N时有[an,bn]?U(?;?)．2．聚点定理与有限覆盖定理（1）相关定义①设S为数轴上的点集，?为定点（它可以属于S，也可以不属于S）若?的任何邻域上都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点．②对于点集S，若点?的任何?领域上都含有S中异于?的点，即U(?;?)?S??则。
称?为S的一个聚点．1/121圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台n???
③若存在各项互异的收敛数列{xn}?S，则其极限limxn??称为S的一个聚点．④设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如(?,?)的开区间），若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S，若H中的开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S一个无限开覆盖（有限开覆盖）．（2）定理①魏尔斯特拉斯聚点定理实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．②海涅—博雷尔（Heine-Borel）有限覆盖定理设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]．二、上极限和下极限1．定义（1）若在数a的任一邻域内含有数列{xn}的无限多个项，则称a为{xn}的一个聚点．（2）有界数列（点列）{xn}的最大聚点A和最小聚点A分别称为{xn}的上极限与下?
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极限，记作A?limxn,A?limxn
n??
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n??
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2．重要定理（1）有界点列（数列）{xn}至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点．（2）对任何有界数列{xn}，有2/121圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台limxn?limxn
n??
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（3）A?limxn的充要条件是limxn?limxn=A．n??
n??
n??
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（4）设{xn}为有界数列，①A为{xn}上极限的充要条件是：任给??0，存在N?0，使得当n?N时有?
xn?A??；存在子列{xnk},xnk?A??,k?1,2,...．②A为{xn}下极限的充要条件是：任给??0，存在N?0，使得当n?N时有?
?
?
xn?A??；存在子列?
{xnk},xnk?A??,k?1,2,...．?
（5）设{xn}为有界数列，①A为{xn}上极限的充要条件是：对任何??A，{xn}中大于?的项有限个：对任何?
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??A,{xn}中大于β的项有无限多个．②A为{xn}下极限的充要条什是：对任何??A，{xn}中小于?的项至多有限个：对?
?
?
任何??A，{xn}中小于?的项有无限多个．?
（6）上下极限的保不等式性设有界数列{an}，{bn}满足：存在N0＞0，当n＞N0时有an≤bn，则liman?limbn,liman?limbn??n???n???n???_特别地，若?，?为常数，又存在N0?0，当n?N0时有??an??，则??liman?liman??n??
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n??
（7）设{xn}为有界数列，3/121圣才电子书www.100xuexi.com?
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台①A为{xn}的上极限的充要条件是A?limsup{xk}n??k?0?②A为{xn}的下极限的充要条件是?
A?liminf{xk}
?
n??k?0
7.2课后习题详解§1关于实数集完备性的基本定理1．证明数集解：令数集有且只有两个聚点数列数列和则都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意由得取总之且令或者有，则当n＞N时，或者有由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．4/121圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，得an
…，即是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使又因所以4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为理数集内不成立．（3）设M是由于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M的故在有理数集内不存在聚点．因一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列但其极限是而满足柯西条件（因为当m，n＞N时，不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5/121
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