§6.3 等比数列
考纲解读
考点 1.等比数列的有关概念及运算 2.等比数列的性质及应用
考纲内容
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
1.了解等比数列与指数函数的关系. 2.能利用等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.
3.能运用数列的等比关系解决实际问题.
浙江省五年高考统计
2013 2014 2015 2016
3,5分 20(1),
18(118(110(文),2约3分
理解 ), ), 分 17(1)(文
6分 7分 17(文), ),
约3分 约4分 要求
19(
18(2
文),
掌握 ),
约3
7分
分
17(2)(文), 约4分
2017 22,约5分
分析解读 1.考查等比数列的定义与判定,通项公式、前n项和的求解,等比数列的性质等知识.
2.等比数列与不等式结合的范围求解、大小比较、不等式证明是高考的热点.
3.预计2019年高考试题中,对等比数列的考查仍以概念、性质、通项、前n项和等基本量为主,以中档题形式出现.
五年高考
考点一 等比数列的有关概念及运算
1.(2017课标全国Ⅱ理,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案 B
2.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 答案 D
3.(2017课标全国Ⅲ理,14,5分)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 = . 答案 -8
4.(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8= . 答案 32
5.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 . 答案 64
6.(2014天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 .
答案 -
7.(2017课标全国Ⅰ文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
1
解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{an}的公比为q,由题设可得
解得q=-2,a1=-2.
故{an
n}的通项公式为an=(-2).
(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n
·
.
由于Sn
n+2+Sn+1=-+(-1)·
=2=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
8.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=,求λ.
解析 (1)由题意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分)
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,于是an=·.(6分)
(2)由(1)得Sn=1-.
由S5=得1-=,即=.
解得λ=-1.(12分)
9.(2016四川,19,12分)已知数列{a{a*
n}的首项为1,Sn为数列n}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N. (1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)设双曲线x2
-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.
解析 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故an+1=qan对所有n≥1都成立.
所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.
从而a=qn-1
n.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得
2
2a2
3=3a2+2,即2q=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,
由已知,q>0,故q=2.所以an-1*
n=2(n∈N).
(2)由(1)可知,an-1
n=q.
所以双曲线x2
-=1的离心率en=
=.
由e2==,解得q=. 因为1+q
2(k-1)
>q
2(k-1)
,所以>qk-1(k∈N*
).
于是en-1
1+e2+…+en>1+q+…+q=
,
故e1+e2+…+en>.
10.(2015四川,16,12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
解析 (1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an
n=2.
(2)由(1)得=.
所以Tn=++…+==1-.
教师用书专用(11—16)
11.(2013江西,3,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 答案 A
12.(2013课标全国Ⅱ,3,5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A. B.-
C. D.-
3
高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列学案
