最新下载(NewDown.com.cn) 中国最大、最专业的学习资料下载站 转载请保留本信息 第三部分
1. 高等代数基本定理
设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果 f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an?K[x],(a0?0)，则称n为f(x)的次数，记为degf(x)。定理（高等代数基本定理） C[x]的任一元素在C中必有零点。
命题 设f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an,(a0?0，n?1)是C上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C上首项系数为a0的n?1次多项式q(x)，使得
f(x)?q(x)(x?a)?f(a)
证明 对n作数学归纳法。
推论 x0为f(x)的零点，当且仅当(x?x0)为f(x)的因式（其中degf(x)?1）。 命题（高等代数基本定理的等价命题） 设f(x)?a0xn?a1xn?1?......?an
(a0?0，n?1)为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数a1,a2,......,an，使
f(x)?a0(x??1)(x??2)......(x??n)
证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设K是一个数域，x是一个未知量，则等式
a0xn?a1xn?1?......?an?1x?an?0 （1） （其中a0,a1,......,an?K,a0?0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以x???K带入（1）式后使它变成等式，则称?为方程（1）在K中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K上的n(?1)次代数方程在复数域C内必有一个根。
命题 n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
f(x)?a0?a1x?......?anxng(x)?b0?b1x?......?bmxm(an?0)， (bm?0)，
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最新下载(NewDown.com.cn) 中国最大、最专业的学习资料下载站 转载请保留本信息 如果存在整整数l,l?m,l?n,及l?1个不同的复数?1,?2,......,?l,?l?1，使得
f(?i)?g(?i)(i?1,2,......,l?1)，
则f(x)?g(x)。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设f(x)?a0xn?a1xn?1???an，其中ai?K,a0?0。设f(x)?，则 ?1,?2,?,?n（可能有重复）
n1f(x)??(x??i)?(x??1)(x??2)?(x??n)a0i?10的复根为
?xn?(?1??2????n)xn?1????1?2??n.所以
a1?(?1)1(?1??2????n)； a0a2?(?1)2??i1?i2； a00?i1?i2?n???????? an?(?1)n?1?2??n. a0我们记
?0(?1,?2,?,?n)?1；
?1(?1,?2,?,?n)??1??2????n；
????????
?r(?1,?2,?,?n)?i1i20?i1?i2???ir?n?????i；
r????????
?n(?1,?2,?,?n)??1?2??n
（?1,?2,?,?n称为?1,?2,?,?n的初等对称多项式）。于是有
定理2.5 (韦达定理) 设f(x)?a0x?a1x的复根为?1,?2,?,?n。则
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nn?1)?0其中ai?K,a0?0。设f(x???an，
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a1?(?1)1?1(?1,?2,?,?n)； a0a2?(?1)2?2(?1,?2,?,?n)； a0???????? an?(?1)n?n(?1,?2,?,?n). a0命题 给定R上n次方程
a0xn?a1xn?1?......?an?1x?an?0， a0?0，
如果??a?bi是方程的一个根，则共轭复数??a?bi也是方程的根。
证明 由已知，
a0?n?a1?n?1?......?an?1??an?0.
两边取复共轭，又由于a0,a1,......,an?R，所以
a0?n?a1?n?1?......?an?1??an?0.
高等代数试题
k?1k设??L(V),??V，并且 ?，?(?)，…，?(?)都不等于零，但?(?)?0，证明：?，
?(?)，…，?k?1(?)线性无关
答案：按线性无关的定义证明
2、令Fn[x] 表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，
?:f(x)?f'(x)，求?关于以下两个基的矩阵：
（1）1，x，x，…，x，
2n(x?c)2(x?c)n（2）1，x?c，，…，，c?F
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?010?0??010?0??002?0??001?0?????答：（1）??????? （2）???????
????000?n000?1???????000?0???000?0??3、F表示数域F上四元列空间 取
4?1?15?1??11?23?? 对于 ??F4，令 ?(?)?A? A???3?181????13?97?求 dim(ker(?))，dim(Im(?))
解：R(A)?2，取F的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB的列向量恰是这个基的象。又B?0，所以 R(AB)＝R（A）＝2 所以 dim(Im(?))＝2
4dim(ker(?))?解空间的秩?4?R(A)?2
4、设F上三维向量空间的线性变换?关于基??1,?2,?3?的矩阵是
?1?2?1?3?2??3?15?115??20?158?，求关于基
?2?3?1?4?2??3 的矩阵 ?????3??1?2?2?2?3?8?76???1??231?? T??342?
B?T?1AT??2??????3??112????5、令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件
，证明：（1）
?) ker(?)?????(?)??V? （2）V?ker(?)?Im(证明：（1）???????(?)??V?，则
????(?)?????(?)??V?
?(?)??(???(?))??(?)??2(?)??(?)??(?)?0，??Ker(?)
反之，??Ker(?)，?(?)?0，?于是 ker(?)?????(?)??V?
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???V,?????(?)??(?)，即V?ker(?)?Im(?)
设
??ker(?)?Im(?) 由
??Im(?)，有
??V，使得
又 ??ker(?)，所以 ?(?)??,?2(?)??(?),因?2＝?，所以?（?）＝?（?）?（?）＝0，于是?（?）＝0，即 ?＝0 所以 ker(?)?Im(?)＝0
60??410??6、设 A??3?50 ，求A
?????3?61??1，?3＝?2 解：特征值 ?1＝?2＝TTT 特征向量 ?1＝（0， ?2＝（?2，，?3＝（?1 1，0），1，1）0，1）A10?P?10P?1 P＝（?1，?2，?3） 则 P?1AP??，
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