∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)， ∴|MN|＝46，故选C.] 二、填空题
6．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．
4 [如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，
又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]
7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________． (x－2)2＋(y－1)2＝1 [设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1，2)关于直线y＝x的对称点为(2，1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]
8．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3)，若M(m，6)在圆C内，则m的范围为________．
(0，4) [设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.
半径r＝|CA|＝
（2＋1）2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.]
三、解答题
9．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求
y－3
的最大值和最小值． x＋2
[解] (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22. 又|QC|＝
（2＋2）2＋（7－3）2＝42，
∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22. (2)可知
y－3x＋2
表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. |2k－7＋2k＋3|
由直线MQ与圆C有交点，所以≤22，
21＋k
可得2－3≤k≤2＋3，∴的最大值为2＋3，最小值为2－3.
x＋210.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和26，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
[解] (1)由已知可知A(－3，0)，B(3，0)，C(6，3)，D(－6，3)， 设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知
(0－3)2＋(b－0)2＝(0－6)2＋(b－3)2，解得b＝1.
所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10.所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
y－3
(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5，2y－2). 将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10， ?5?2?3?25即?x－2?＋?y－2?＝. ????2
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] C．[2，32]
B．[4，8] D．[22，32]
|2＋0＋2|A [圆心(2，0)到直线的距离d＝＝22，所以点P到直线的距离d1
2∈[2，32].根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，1
所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝2|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6].]
2．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周12
长，则a＋b的最小值为( )
A．1 C．42
B．5 D．3＋22
D [由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1， 12?12?b2a
∴a＋b＝?a＋b?(a＋b)＝3＋a＋b≥3＋2??
b2aa·b＝3＋22，
b2a
当且仅当a＝b，即b＝2－2，a＝2－1时，等号成立． 12
∴a＋b的最小值为3＋22.] 5
3．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为5，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．
(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2 [设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.
a＝－1，?a＝1，???r＝a＋1，??
由题意可知?∴?b＝－1，或?b＝1，
|a－2b|5???r＝2.?＝5，?r＝2?5
2
2
2
2
r2＝2b2，
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.
(1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程．
[解] (1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2). 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得
a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210， 所以(a＋1)2＋b2＝40.②
???a＝－3，?a＝5，
由①②解得? 或? 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
???b＝6?b＝－2.所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
1．(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，→→
0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为________．
→→→→
12 [由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y→→－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝→→4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.]
2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
[解] 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x
2021届高考新课标卷高三数学一轮复习巩固练习含答案全套打包下载 第8章平面解析几何 -直线与圆
