高考数学必胜秘诀在哪概念方法题型易误点及
应试技巧总结（二）函数
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
二、函 数
1.映射f: A?B的概念。在明白得映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯独；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯独。如〔1〕设f:M?N是集合M到N的映射，以下讲法正确的选项是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯独的 D、N是M中所在元素的象的集合〔答：A〕；〔2〕点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，那么在〔答：〔2，－1〕〕；〔3〕假设A?{1,2,3,4}，f作用下点(3,1)的原象为点________B?{a,b,c}，a,b,c?R，那么A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到B的函数有 个〔答：81,64,81〕；〔4〕设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件
2〝对任意的x?M，如此的映射f有____个〔答：12〕；〔5〕设f:x?xx?f(x)是奇数〞，
是集合A到集合B的映射，假设B={1,2}，那么A?B一定是_____〔答：?或{1}〕.
2.函数f: A?B是专门的映射。专门在定义域A和值域B差不多上非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如〔1〕函数f(x)，x?F，那么集合{(x,y)|y?f(x),x?F}{(x,y)|x?1}中
12所含元素的个数有 个〔答： 0或1〕；〔2〕假设函数y?x?2x?4的定义域、值
2域差不多上闭区间[2,2b]，那么b＝ 〔答：2〕
3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法那么。而值域可由定义域和对应法那么唯独确定，因此当两个函数的定义域和对应法那么相同时，它们一定为同一函数。如假设一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，那么称这些函数为〝天一函数〞，那么解析式为y?x，值域为{4，1}的〝天一函数〞共有______个〔答：9〕
4. 求函数定义域的常用方法〔在研究函数咨询题时要树立定义域优先的原那么〕： 〔1〕依照解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中
2x?0,a?0且a?1，三角形中0?A??, 最大角???，最小角?等。如〔1〕函数33y?y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；〔2〕假设函数
kx?7?3?0,?)；的定义域为R，那么_______(答：〔3〕函数f(x)的定义域k?2?kx?4kx?3?4?[a,?a])；是[a,b]，那么函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域是__________(答：b??a?0，
2〔4〕设函数f(x)?lg(ax?2x?1)，①假设f(x)的定义域是R，求实数a的取值范畴；②假设f(x)的值域是R，求实数a的取值范畴〔答：①a?1；②0?a?1〕
〔2〕依照实际咨询题的要求确定自变量的范畴。
〔3〕复合函数的定义域：假设f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可；假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x?[a,b]时，求g(x)的值域〔即f(x)的定义域〕。如〔1〕假设函数y?f(x)的定义域
为?,2?，那么f(log2x)的定义域为__________〔答：x|2?1?2?x?4〕；〔2〕假设函数
??f(x2?1)的定义域为[?2,1)，那么函数f(x)的定义域为________〔答：[1,5]〕．
??5.求函数值域〔最值〕的方法：
〔1〕配方法――二次函数〔二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定〔动〕，对称轴动〔定〕的最值咨询题。求二次函数的最值咨询题，勿忘数形结合，注意〝两看〞：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系〕，如〔1〕求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域〔答：[4,8]〕；〔2〕当x?(0,2]时，函数
2f(x)?ax2?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，那么a的取值范畴是___〔答：
1x?b?12?12；〔3〕f(x)?3(2?x?4)的图象过点〔2,1〕，那么F(x)?[f(x)]?f(x)a??〕2的值域为______〔答：[2, 5]〕
〔2〕换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如〔1〕y?2sinx?3cosx?1的值域为_____
217；〔2〕y?2x?1?x?1的值域为_____〔答：(3,??)〕〔令x?1?t，]〕8；〔3〕y?sinx?cosx?sinxcosx的t?0。运用换元法时，要专门要注意新元t的范畴〕
1[1,32?4]〕值域为____〔答：；〔4〕y?x?4?9?x2的值域为____〔答：； [?1,?2]〕
2〔答：[?4,〔3〕函数有界性法――直截了当求函数的值域困难时，能够利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的确实是三角函数的有界性，如求函数y?2sin??1，
1?sin?3x2sin??113y?，的值域〔答： 、〔0,1〕、； (??,](??,]〕y?x1?3221?cos?〔4〕单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，
19x?5，(1?x?9)，y?sin2x?y?2?log3x?1的值域为______2x1?sinx8011〔答：(0,)、[,9]、[2,10]〕；
92如求y?x?〔5〕数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如〔1〕点P(x,y)在圆x?y?1上，求
2233y[?,]、及y?2x的取值范畴〔答：
33x?222[?5,5]〕；〔2〕求函数y?(x?2)?(x?8)的值域〔答：[10,??)〕；〔3〕求函数
y?x2?6x?13?x2?4x?5及y?x2?6x?13?x2?4x?5的值域〔答：
[43,??)、(?26,26)〕注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，那么要使两定点在x轴的同侧。
〔6〕判不式法――对分式函数〔分子或分母中有一个是二次〕都可通用，但这类题型有时也能够用其它方法进行求解，不必拘泥在判不式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
b33y?(0,]〕 型，可直截了当用不等式性质，如求的值域〔答：
k?x22?x22bxx②y?2型，先化简，再用均值不等式，如〔1〕求y?的值域〔答：21?xx?mx?n①y?x?211；〔2〕求函数y?的值域〔答：[0,]〕 (??,]〕
x?322x2?m?x?n?mx2?8x?n③y?2型，通常用判不式法；如函数y?log3的定义域为R，2x?mx?nx?1值域为[0，2]，求常数m,n的值〔答：m?n?5〕
x2?m?x?n?x2?x?1④y?型，可用判不式法或均值不等式法，如求y?的值域〔答：
mx?nx?1(??,?3][1,??)〕
〔7〕不等式法――利用差不多不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值，其题型特点解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，只是有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，那么
(a1?a2)2的取值范畴是____________.〔答：(??,0][4,??)〕。
b1b2〔8〕导数法――一样适用于高次多项式函数，如求函数f(x)?2x?4x?40x，〔答：－48〕 x?[?3,3]的最小值。
提醒：〔1〕求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？〔2〕函数的最值
与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分不用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较专门的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定第一要判定
32x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同
2??(x?1).(x?1)子集上各关系式的取值范畴的并集。如〔1〕设函数f(x)??，那么使得
??4?x?1.(x?1)；〔2〕f(x)?1的自变量x的取值范畴是__________〔答：(??,?2][0,10]〕
(x?0)?1 ，那么不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________〔答：f(x)??(x?0)??1 3(??,]〕
27.求函数解析式的常用方法：
〔1〕待定系数法――所求函数的类型〔二次函数的表达形式有三种：一样式：
f(x)?ax2?bx?c；顶点式：f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要会依照条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式〕。如f(x)为二次函数，且
且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。f(x?2)?f(?x?2)，
12〔答：f(x)?x?2x?1〕
2〔2〕代换〔配凑〕法――形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如〔1〕
f(1?cosx)?sin2x,求fx2的解析式〔答：f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]〕；〔2〕
1122假设f(x?)?x?2，那么函数f(x?1)=_____〔答：x?2x?3〕；〔3〕假设函数f(x)xx是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，
??f(x)=________〔答：x(1?3x)〕. 那个地点需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。
〔3〕方程的思想――条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特点对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如〔1〕
2；〔2〕f(x)是奇函数，f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式〔答：f(x)??3x?〕3x1,那么f(x)= __〔答：2〕。 g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=
x?1x?1
8. 反函数：
〔1〕存在反函数的条件是关于原先函数值域中的任一个y值，都有唯独的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数y?x?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、a????,1? B、a??2,??? C、a?[1,2] D、a????,1?D〕
〔2〕求反函数的步骤：①反求x；②互换 x、y；③注明反函数的定义域〔原先函数的值域〕。注意函数y?f(x?1)的反函数不是y?f?1(x?1)，而是y?f?1(x)?1。如设f(x)?(x?12)(x?0).求f(x)的反函数fx?12?2,??? 〔答：
(x)〔答：f?1(x)?1(x?1)〕． x?1〔3〕反函数的性质：
①反函数的定义域是原先函数的值域，反函数的值域是原先函数的定义域。如单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，假设f(x)的反函数f?1(x)的定义域为
?14?,? ，那么f(x)的定义域是____________〔答：[4,7]〕. ?a?a??1②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称，注意函数y?f(x)的图象与x?f?1(y)的图象相同。如〔1〕函数y?f(x)的图象过点(1,1),那么
2x?3f?4?x?的反函数的图象一定通过点_____〔答：〔1,3〕〕；〔2〕函数f(x)?，假设函
x?17?1数y?g(x)与y?f(x?1)的图象关于直线y?x对称，求g(3)的值〔答：〕；
24?1(x)?4的
x?1解x?______〔答：1〕；〔2〕设函数f(x)的图象关于点〔1,2〕对称，且存在反函数f(x)，
③f(a)?b?f?1(b)?a。如〔1〕函数f(x)?log3(?2)，那么方程ff (4)＝0，那么f?1(4)＝ 〔答：－2〕
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如f?x?是R上的增函数，点
A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那么不等式f?1?log2x??1的解集为________〔答：〔2,8〕〕；
⑤设f(x)的定义域为A，值域为B，那么有f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x
(x?A)，但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。
9.函数的奇偶性。
〔1〕具有奇偶性的函数的定义域的特点：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如假设函数f(x)?2sin(3x??)，
x?[2??5?,3?]为奇函数，其中??(0,2?)，那么???的值是 〔答：0〕；
〔2〕确定函数奇偶性的常用方法〔假设所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判定其奇偶性〕：
①定义法：如判定函数y?|x?4|?49?x2的奇偶性____〔答：奇函数〕。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或判定f(x)?x(f(?x)??1〔f(x)?0〕。如f(x)11?)的奇偶性___.〔答：偶函数〕 2x?12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 〔3〕函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，那么其单调性恰恰相反.
②假如奇函数有反函数，那么其反函数一定依旧奇函数.
③假设f(x)为偶函数，那么f(?x)?f(x)?f(|x|).如假设定义在R上的偶函数
1且f()=2，那么不等式f(log1x)?2的解集为______.〔答：f(x)在(??,0)上是减函数，
38(0,0.5)(2,??)〕
④假设奇函数f(x)定义域中含有0，那么必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数a·2x?a?2的既不充分也不必要条件。如假设f(x)?为奇函数，那么实数a＝____〔答：x2?11〕.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成〝一个奇函数与一个偶函数
f(x)?f(?x)的和〔或差〕〞。如设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?，
2f(x)?f(?x)。①判定F(x)与G(x)的奇偶性； ②假设将函数
2f(x)?lg(10x?1)，表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，那么g(x)＝____
1〔答：①F(x)为偶函数，G(x)为奇函数；②g(x)＝x〕
2G(x)?⑥复合函数的奇偶性特点是：〝内偶那么偶，内奇同外〞.
⑦既奇又偶函数有无穷多个〔f(x)?0，定义域是关于原点对称的任意一个数集〕. 10.函数的单调性。
〔1〕确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法〔取值――作差――变形――定号〕、导数法〔在区间(a,b)内，假设总有f?(x)?0，那么f(x)为增函数；反之，假设f(x)在区间(a,b)内为增函数，那么f?(x)?0，请注意两者的区不所在。如函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数，那么a的取值范畴是____(答：(0,3]〕)；
②在选择填空题中还可用数形结合法、专门值法等等，专门要注意y?ax?3b(a?0 xb?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(??,?[?bb],[,??)，减区间为aabb,0),(0,].如〔1〕假设函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间〔－∞，4] 上是减aaax?1函数，那么实数a的取值范畴是______(答：a??3〕)；〔2〕函数f(x)?在区间
x?2
高考数学必胜秘诀在哪概念方法题型易误点及应试技巧总结(二)函数
